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第1章　行列式　 1

1.1　行列式的定义　 2

1.1.1 二阶、三阶行列式 2

1.1.2 排列及其逆序数 4

1.1.3　n阶行列式 6

习题1-1 10

1.2　行列式的性质　 10

1.2.1 行列式的基本性质 10

1.2.2 行列式性质的应用 13

习题1-2 15

1.3　行列式的展开定理　 16

1.3.1 行列式按行（列）展开 16

1.3.2 拉普拉斯展开定理 23

习题1-3 25

1.4　克莱姆法则　 26

习题1-4　 30

总习题1　 30

第2章 矩阵　 33

2.1.1 矩阵的概念　 34

2.1　矩阵的概念及其运算　 34

2.1.2 矩阵的运算 36

习题2-1 40

2.2　转置矩阵　矩阵乘积的行列式　 42

2.2.1 转置矩阵 42

2.2.2 矩阵乘积的行列式 43

习题2-2 45

2.3　逆矩阵　伴随矩阵　 46

2.3.1 逆矩阵 46

2.3.2 伴随矩阵与求逆公式 47

2.3.3 逆矩阵的常用公式 50

2.3.4 伴随矩阵的常用公式 51

习题2-3 53

2.4　矩阵的初等变换与初等变换求逆矩阵　 54

2.4.1 矩阵的初等变换 54

2.4.2 线性方程组的高斯消元法　 56

2.4.3 初等矩阵的概念及性质 59

2.4.4　矩阵初等变换求逆矩阵及其应用 62

习题2-4 65

2.5 矩阵的秩 66

2.5.1 矩阵秩的定义 66

2.5.2 初等变换求秩 67

习题2-5 69

2.6　分块矩阵及其运算　 70

2.6.1 分块矩阵的概念 70

2.6.2 分块矩阵的运算 71

习题2-6 74

总习题2　 75

第3章　n维向量　 79

3.1　n维向量及其线性运算　 80

3.1.1 n维向量的概念　 80

3.1.2 n维向量的线性运算 80

习题3-1 83

3.2　向量组的线性相关性　 83

3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 83

3.2.2 向量组等价 87

习题3-2 88

3.3.1 向量组的极大线性无关组 89

3.3　向量组的秩　 89

3.3.2 向量组的秩 91

3.3.3 矩阵的秩与向量组秩的关系 91

3.3.4 对矩阵秩的进一步讨论 93

习题3-3 95

3.4　n维向量的内积　正交性　 96

3.4.1 n维向量的内积 96

3.4.2 正交向量 97

习题3-4　 100

3.4.3 正交矩阵 100

总习题3　 101

第4章　线性方程组　 103

4.1　线性方程组解的判定定理　 104

4.1.1 线性方程组的矩阵表示 104

4.1.2 非齐次线性方程组解的存在定理 105

习题4-1　 107

4.2　齐次线性方程组　 108

4.2.1 齐次线性方程组解的性质 108

4.2.2 齐次线性方程组的基础解系及通解 109

习题4-2　 114

4.3　非齐次线性方程组　 115

4.3.1 非齐次线性方程组解的性质 115

4.3.2 非齐次线性方程组解的结构 115

习题4-3　 120

总习题4　 121

第5章　矩阵的特征值与特征向量　 125

5.1　矩阵的特征值与特征向量　 126

5.1.1 矩阵特征值、特征向量的概念及计算　 126

5.1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 130

习题5-1　 132

5.2　相似矩阵及矩阵的相似对角化　 132

5.2.1　相似矩阵的概念及性质　 132

5.2.2 矩阵的相似对角化 133

习题5-2　 137

5.3　实对称矩阵的对角化　 138

5.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量　 138

5.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化 139

习题5-3　 143

总习题5　 144

第6章　二次型　 147

6.1　二次型及其标准形　 148

6.1.1 二次型及其矩阵表示 148

6.1.2 二次型的标准形 149

习题6-1 152

6.2　二次型化标准形　惯性定理　 152

6.2.1 二次型化标准形 152

6.2.2 惯性定理 159

习题6-2　 161

6.3　正交变换化标准形及其几何应用　 162

6.3.1 正交变换化标准形 162

6.3.2 正交变换化标准形的几何应用 164

习题6-3　 169

6.4　正定二次型　 170

6.4.1 二次型正定与矩阵正定 170

6.4.2 正定性在多元函数极值中的应用 177

习题6-4　 179

总习题6　 179

第7章　线性空间与线性变换　 181

7.1　线性空间的基本概念　 182

7.1.1 线性空间的定义及性质 182

7.1.2　基、维数及坐标　 184

7.1.3 基变换与坐标变换 186

习题7-1　 189

7.2　子空间 190

7.2.1 子空间的基本概念 190

习题7-2　 192

7.2.2 子空间的交与和 192

7.3　线性变换　 193

7.3.1 线性变换的定义及性质 193

7.3.2 线性变换的矩阵 195

7.3.3 象坐标与原象坐标的关系 197

7.3.4 线性变换在不同基下矩阵的关系 199

7.3.5 线性变换的存在唯一性定理 200

习题7-3 202

7.4　线性变换的运算与特征值　 203

7.4.1 线性变换的运算与矩阵运算 203

7.4.2 线性变换的特征值与特征向量　 205

习题7-4　 206

7.5　欧氏空间与正交变换　 207

7.5.1 内积与欧氏空间 207

7.5.2　标准正交基　 209

7.5.3 欧氏空间中的正交变换　 210

习题7-5 214

总习题7　 214

第8章　数学软件Mathematica介绍　 217

8.1.2 数、变量与函数 218

8.1.1 启动与退出 218

8.1　Mathematica的基本操作　 218

8.1.3 解方程 221

8.1.4 其他常用操作 221

8.2　线性代数基本问题的Mathematica实现　 221

8.2.1 矩阵　 221

8.2.2 线性方程组 223

8.2.3 方阵的特征值与特征向量　 224

部分习题参考答案与提示　 225

参考文献　 241