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第1章 带小参数系统的定性分析的数学原理 1

1.1 引言 1

1.2 基本不等式 1

1.2.1 格洛努奥尔（Γронуолл）型不等式 1

1.2.2 毕哈里（Бихари）型不等式 5

1.2.3 微分不等式 9

1.2.4 积分不等式 13

1.3 带小参数的方程组的解的一般性质 15

1.3.1 解对参数的连续相依性、可微性与解析性 15

1.3.2 解的延拓定理 21

1.3.3 庞加莱定理 22

1.4 稳定性的原本的定义 25

1.4.1 关于初始条件的扰动的稳定性 25

1.4.2 关于已知函数的稳定性 26

1.4.3 具有经常作用扰动的稳定性 27

1.5 关于李雅普诺夫意义稳定性的条件 29

1.5.1 李雅普诺夫函数及其定号性 29

1.5.2 推广的李雅普诺夫导函数 32

1.5.3 关于稳定与不稳定的定理 33

1.6 比较原理的主要定理 37

1.7 带小参数方程组的稳定性定义 39

1.7.1 平衡状态 40

1.7.2 稳定性定义 41

1.7.3 稳定区域 42

1.7.4 吸引 42

1.7.5 吸引区域 43

1.7.6 渐近稳定性 44

1.7.7 渐近稳定区域 45

1.8 带小参数的方程组的μ稳定性与李雅普诺夫意义稳定性的联系 46

1.7.8 运动增长的定义 46

1.9 参考文献注释 48

参考文献 49

第2章 非线性方程组的稳定性的分析 52

2.1 引言 52

2.2 问题的提法 52

2.3 对两个测度的稳定性的充分条件 54

2.4 建立在纯量比较方程上的μ稳定性条件 64

2.5 个别子系统的动力学性质的分析 68

2.6 μ稳定性的代数条件 72

2.6.1 一致渐近μ稳定 72

2.6.2 全局一致渐近μ稳定 74

2.6.3 指数μ稳定 75

2.6.4 不稳定与完全不稳定 78

2.7.1 弱关联系统（2.2.1）的半稳定性的一般问题 80

2.7 关于弱关联系统运动的半稳定性 80

2.7.2 对m=2的情形分析系统（2.7.1）的半稳定性 81

2.8 某些力学系统运动稳定性的分析 84

2.8.1 飞机纵向运动的稳定性 84

2.8.2 含有微小非线性项的非直接控制系统 86

2.8.3 带有不稳定的子系统的非直接控制系统 88

2.9 参考文献注释 90

参考文献 90

第3章 构造李雅普诺夫函数与非自治系统的稳定性 93

3.1 引言 93

3.2 均值系统与非自治系统的稳定性 93

3.2.1 切塔耶夫定理 93

3.2.2 非线性方程组的一般情形 95

3.3 关于均值方程组的渐近稳定性区域的估计 98

3.3.1 定理（波戈柳波夫） 98

3.3.2 渐近稳定区域 99

3.4 用扰动方法构造李雅普诺夫函数 101

3.4.1 辅助方程组的作用 101

3.4.2 未受扰动方程组的渐近稳定解的情形 103

3.4.3 拟线性方程组 104

3.4.4 临界情形 105

3.4.5 对高次近似影响的估计 108

3.4.6 均值法与多项式解 110

3.4.7 特殊的临界情形 112

3.4.8 向量李雅普诺夫函数 117

3.5 对于带小参数的非自治方程组的李雅普诺夫函数 121

3.5.1 带微扰动的非自治线性方程组 121

3.5.2 具有周期系数的线性方程组 122

3.5.3 一类非自治非线性方程组 125

3.6.1 辅助论断 127

3.6 具有经常作用扰动的标准方程组 127

3.6.2 关于稳定性的定理 130

3.7 对部分变元的稳定性 132

3.8 参考文献注释 137

参考文献 138

第4章 带有中立部分的非线性系统稳定性的分析 141

4.1 引言 141

4.2 在有限区间上的运动稳定性 141

4.2.1 问题的提法 141

4.2.2 关于稳定性的定理 142

4.3 具有中立部分的非线性系统的稳定性分析 148

4.3.1 辅助结论 148

4.3.2 关于稳定性的定理 150

4.3.3 不稳定的条件 154

4.3.4 渐近稳定性条件 157

4.4 运用辅助系统的方法推广定理 161

4.5 具有非渐近稳定的子系统的大型系统的动力学 167

4.5.1 运动稳定性与不稳定性的充分条件 167

4.5.2 弱关联振动系统的分析 178

4.6 带有减震器的双转子定向仪的稳定性 187

4.6.1 关于部分变元的稳定性定理 187

4.6.2 定向仪稳定性的条件 188

4.7 参考文献注释 191

参考文献 192

第5章 奇异扰动系统 194

5.1 引言 194

5.2 问题的提法 194

5.3 渐近稳定性的条件 196

5.4 自治奇异扰动系统的吉洪诺夫（Тихонов）定理的推广 200

5.4.1 问题的提出 200

5.4.2 生成方程组的非渐近稳定的情形 201

5.4.3 指数稳定的生成方程组的情形 207

5.5 矩阵值函数及其定号性质 210

5.6 矩阵值李雅普诺夫函数方法 212

5.7 关于稳定与不稳定的一般定理 215

5.8 奇异扰动大系统的描述与分解 216

5.9 大系统稳定性的条件 218

5.9.1 非自治系统 218

5.9.2 自治系统 231

5.10 不稳定的充分条件 242

5.10.1 非自治系统 242

5.10.2 自治系统 243

5.11 大系统的绝对稳定性 244

考虑鲁立叶型奇异扰动系统 244

5.12 参考文献注释 250

参考文献 251