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第1章 线性方程组的解法 1

1.0 解多元一次方程组的尝试 1

1.1 线性方程组的同解变形 2

1.2 矩阵消元法 9

1.3 一般线性方程组的消元解法 16

第2章 线性空间 25

2.0 关于线性方程组中方程个数的讨论 25

2.1 线性相关与线性无关 30

2.2 向量组的秩 40

2.3 子空间 51

2.4 非齐次线性方程组 65

2.5 一般的线性空间 71

2.6 同构与同态 80

附录1 集合的映射 87

2.7 子空间的交与和 88

2.8 更多的例子 97

第3章 行列式 105

3.0 平行四边形面积的推广 106

3.1 n阶行列式的定义 111

3.2 行列式的性质 118

3.3 展开定理 130

3.4 Cramer法则 140

3.5 更多的例子 145

第4章 矩阵的代数运算 157

4.0 线性映射的矩阵 157

4.1 矩阵的代数运算 162

4.2 矩阵的分块运算 175

4.3 可逆矩阵 185

4.4 初等矩阵与初等变换 196

4.5 矩阵乘法与行列式 205

4.6 秩与相抵 215

4.7 更多的例子 225

第5章 多项式 234

5.0 从未知数到不定元 234

5.1 域上多项式的定义和运算 236

5.2 最大公因式 241

5.3 因式分解定理 249

5.4 多项式的根 252

5.5 有理系数多项式 263

附录2 p元域Zp上的多项式 272

5.6 多元多项式 275

5.7 更多的例子 283

第6章 线性变换 295

6.0 线性变换的几何性质 295

6.1 线性映射 300

6.2 坐标变换 311

6.3 像与核 317

附录3 商空间 325

6.4 线性变换 326

6.5 特征向量 330

6.6 特征子空间 340

6.7 最小多项式 344

6.8 更多的例子 352

第7章 Jordan标准形 360

7.0 Jordan形矩阵引入例 360

7.1 Jordan形矩阵 364

7.2 根子空间分解 372

7.3 循环子空间 378

7.4 Jordan标准形 383

7.5 多项式矩阵的相抵 394

7.6 多项式矩阵的相抵不变量 405

7.7 特征方阵与相似标准形 415

7.8 实方阵的实相似 422

7.9 更多的例子 429

第8章 二次型 437

8.0 多元二次函数的极值问题 437

8.1 用配方法化二次型为标准形 440

8.2 对称方阵的相合 447

8.3 正定的二次型与方阵 457

8.4 相合不变量 463

8.5 更多的例子 466

第9章 内积 475

9.0 内积的推广 475

9.1 Euclid空间 478

9.2 标准正交基 482

9.3 正交变换 493

9.4 实对称方阵的正交相似 501

9.5 规范变换与规范方阵 508

9.6 酉空间 519

9.7 复方阵的酉相似 523

9.8 双线性函数 532

9.9 更多的例子 548