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第一章 集合论基础 1

1.1 一般集合的概念 1

1.1.1 集合及其表示 2

1.1.2 无穷集合的概念 6

1.1.3 集合的运算 9

1.1.4 笛卡尔乘积 14

习题1.1 17

1.2 数集 20

1.2.1 自然数和自然数系的构造 20

1.2.2 自然数系的构造性思维 22

1.2.3 有理数的构造 26

1.2.4 实数和实数系 27

1.2.5 无理数 30

习题1.2 30

1.3 集合的非构造特性 31

1.3.1 集合概念的非构造性 32

1.3.2 集合的大小和长度量度的非构造性 33

1.3.3 超限集合的非构造性 35

第二章 关系·函数和代数 38

2.1 二元关系 38

2.1.1 关系的定义 38

2.1.2 关系矩阵与关系图 41

2.1.3 逆关系 44

2.1.4 关系的合成 45

2.1.5 关系的闭包 48

2.1.6 相容关系 51

2.1.7 等价关系 54

2.1.8 序关系 59

习题2.1 63

2.2 函数 71

2.2.1 部分函数 71

2.2.2 函数的合成 74

2.2.3 逆函数 76

2.2.4 特征函数 79

2.2.5 字集·字函数 80

习题2.2 81

2.3 代数 83

2.3.1 代数运算 83

2.3.2 代数结构 86

2.3.3 同态与同构 87

2.3.4 同余关系 90

2.3.5 商代数和积代数 91

习题2.3 93

第三章 群 96

3.1 半群 96

3.1.1 半群的定义 96

3.1.2 子半群·生成子集合 98

3.1.3 同态 99

3.1.4 自由半群 102

习题3.1 104

3.2 群 105

3.2.1 群的定义 105

3.2.2 子群·生成子集合 108

3.2.3 同态 110

3.2.4 商群 112

3.2.5 有限群 116

3.2.6 直积 119

3.2.7 自由群 122

3.2.8 正合序列 124

习题3.2 128

3.3 阿贝尔群 131

3.3.1 概论 131

3.3.2 自由阿贝尔群 133

3.3.3 循环群的分解 136

3.3.4 有限生成阿贝尔群 137

3.3.5 半正合序列 141

3.3.6 张量积 143

3.3.7 同态群 148

习题3.3 150

第四章 环·域·格·模·范畴 155

4.1 环和域 155

4.1.1 定义和例子 155

4.1.2 子环和理想 157

4.1.3 同态 159

4.1.4 特征 161

4.1.5 商域 163

4.1.6 多项式环 165

4.1.7 因子分解 167

4.1.8 解多项式 170

习题4.1 171

4.2 格与布尔代数 174

4.2.1 格及其性质 174

4.2.2 格是一种代数 176

4.2.3 特殊格 179

4.2.4 布尔代数 181

4.2.5 有限布尔代数的唯一性 185

4.2.6 自由布尔代数 187

习题4.2 191

4.3 模·向量空间和代数 194

4.3.1 积·向量空间 194

4.3.2 子模和子代数 196

4.3.3 同态 198

4.3.4 自由模 200

4.3.5 张量积 203

4.3.6 分次模 205

4.3.7 分次代数 208

4.3.8 张量代数 210

4.3.9 外代数 212

4.3.10 对称代数 214

4.3.11 范畴与函子 216

习题4.3 221