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第0章 引论 1

0.1 拓扑学是什么以及如何应用 1

0.2 历史一瞥 5

0.3 集合及其运算 6

0.4 欧几里得空间 9

0.5 关系 11

0.6 函数 13

第1章 拓扑空间 16

1.1 开集与拓扑学的定义 16

1.2 拓扑的基 19

1.3 闭集 26

1.4 拓扑学应用举例 29

第2章 内部、闭包与边界 37

2.1 集合的内部与闭包 37

2.2 极限点 40

2.3 集合的边界 44

2.4 在地理信息系统中的一个应用 46

第3章 构建新的拓扑空间 51

3.1 子空间拓扑 51

3.2 积拓扑 54

3.3 商拓扑 58

3.4 有关商空间的更多例子 64

3.5 构形空间与相空间 68

第4章 连续函数与同胚 73

4.1 连续性 73

4.2 同胚 80

4.3 机器人学的正向运动学映射 88

第5章 度量空间 93

5.1 度量 93

5.2 度量与信息 98

5.3 度量空间的性质 102

5.4 可度量化 107

第6章 连通性 111

6.1 建立连通性的第一种途径 111

6.2 用连通性区分拓扑空间 117

6.3 介值定理 121

6.4 道路连通性 126

6.5 自动导向装置 130

第7章 紧致性 134

7.1 开覆盖与紧致空间 134

7.2 度量空间中的紧致性 140

7.3 极值定理 145

7.4 极限点紧致性 150

7.5 单点紧化 153

第8章 动力系统与混沌 157

8.1 函数迭代 157

8.2 稳定性 163

8.3 混沌 169

8.4 复杂动力系统的简单人口模型 175

8.5 混沌蕴涵对初始条件的敏感依赖性 180

第9章 同伦与度理论 183

9.1 同伦 183

9.2 圆函数、度与收缩 186

9.3 在心脏搏动模型中的一个应用 190

9.4 代数学基本定理 193

9.5 再论拓扑空间的区分 195

9.6 再论度 198

第10章 不动点定理及其应用 205

10.1 布劳威尔不动点定理 205

10.2 在经济学中的一个应用 208

10.3 卡库塔尼不动点定理 214

10.4 博弈论与纳什均衡 219

第11章 嵌入 226

11.1 嵌入的一些结论 226

11.2 若尔当曲线定理 231

11.3 数字拓扑和数字图像处理 236

第12章 纽结 242

12.1 合痕和纽结 243

12.2 赖德迈斯特运动与环绕数 249

12.3 纽结多项式 253

12.4 在生物化学与化学中的应用 257

第13章 图论与拓扑学 263

13.1 图 263

13.2 化学图论 268

13.3 图的嵌入 272

13.4 交叉数与厚度 278

第14章 流形与宇宙学 284

14.1 流形 285

14.2 欧拉示性数与紧致曲面的分类 292

14.3 3维流形 299

14.4 宇宙的几何结构 307

14.5 宇宙是哪一种流形 311

进一步阅读材料 314

参考文献 316