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预备知识 1

一、数域 1

二、连加号与连乘号 3

1.n个实数相加 3

2.m×n个实数相加 3

3.n个实数相乘 4

4.n个数a1，a2，…，an所有可能的差(ai-aj)的连乘积 4

第一章 行列式 6

一、二元、三元线性方程组与二阶三阶行列式 6

二、n阶行列式的定义 9

1.排列 9

2.n阶行列式的定义 11

三、行列式的性质 14

四、行列式按某一行(列)展开 21

五、克莱姆法则 29

第一章小结 34

习题 35

第二章 矩阵 38

一、矩阵的概念 38

二、矩阵的运算 40

1.矩阵的加法 40

2.矩阵与数的乘法 41

3.矩阵的乘法 41

4.方阵 47

5.矩阵的转置 48

1.对角矩阵 49

三、几种特殊的矩阵 49

2.数量矩阵 50

3.单位矩阵 50

4.三角形矩阵 51

5.对称矩阵 51

6.正交矩阵 52

四、逆矩阵 52

1.矩阵的逆矩阵的存在条件 52

2.逆矩阵的性质 59

五、分块矩阵 60

1.矩阵的分块 60

2.分块矩阵的运算 61

3.分块矩阵的求逆 63

六、矩阵的初等变换 66

1.矩阵的初等变换的定义 66

2.初等矩阵的性质 69

第二章小结 73

习题二 74

第三章 n维向量 79

一、n维向量空间 79

二、向量间的线性关系 81

1.线性组合 81

2.线性相关与线性无关 84

3.二维向量线性关系的几何意义 85

4.向量间的线性关系的性质 86

1.向量组的秩 91

三、向量组与矩阵的秩 91

2.矩阵的秩 92

3.举例 96

4.正交化方法 99

第三章小结 102

习题三 103

第四章 线性方程组 107

一、线性方程组有解的判别定理 107

1.线性方程组 107

2.齐次线性方程组 108

二、线性方程组的消元法 109

1.齐次线性方程组解的结构 113

三、线性方程组解的结构 113

2.非齐次线性方程组解的结构 117

第四章小结 121

习题四 123

第五章 矩阵的特征值 126

一、矩阵的特征值与特征向量 126

1.特征值与特征向量的概念 126

2.特征值与特征向量的性质 130

3.相似矩阵 132

4.实对称矩阵的对角化 135

5.约当(Jordan)形矩阵的简单介绍 139

二、矩阵级数的收敛性 142

1.向量序列的极限 142

2.矩阵序列的极限 143

3.向量无穷级数的收敛性 144

4.矩阵无穷级数的收敛性 145

5.关于极限的几个定理 145

三、线性方程组的迭代解法 146

1.引例说明迭代法 146

2.迭代公式 148

第五章小结 150

习题五 151

第六章 二次齐式 153

一、二次齐式及其矩阵表示 153

1.二次齐式 153

2.线性变换 153

3.矩阵的合同关系 157

二、用正交变换化实二次齐式为平方和 158

三、标准形 161

1.二次齐式化为平方和的方法 161

2.用初等变换化二次齐式为标准形 166

3.举例 172

四、规范形 174

1.二次齐式的秩 174

2.规范形的唯一性 175

五、正定二次齐式 176

1.正定二次齐式的定义及判别条件 176

2.负定、半正定、半负定的概念 184

第六章小结 185

习题六 186

习题答案 187