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第一章 行列式 1

第一节 本章的主要概念 1

一、二阶行列式 1

二、三阶行列式 1

三、n阶行列式 2

四、转置行列式 3

五、上三角行列式 3

六、下三角行列式 4

第二节 本章的主要定理 4

一、行列式的七条性质 4

二、克莱姆法则 5

三、关于齐次线性方程组有非零解的定理 5

第三节 本章的主要解题方法 5

一、行列式的计算方法 5

二、运用克莱姆法则，解线性方程组的方法 16

第四节 本章的习题解析 17

习题1.1 17

习题1.2 19

习题1.3 21

习题1.4 25

习题1.5 31

补充题一 35

第二章 矩阵 46

第一节 本章的主要概念 46

一、m×n矩阵 46

二、n阶方阵 46

三、行矩阵 46

四、列矩阵 46

五、零矩阵 46

六、同型矩阵 46

七、矩阵相等 47

八、矩阵的加法 47

九、矩阵与数的乘法(矩阵的数乘) 47

十、矩阵的乘法 47

十一、负矩阵 47

十二、单位矩阵 47

十三、可交换矩阵 47

十四、左零因子、右零因子 47

十五、矩阵A的m次幂 47

十六、转置矩阵 47

十七、n阶方阵的行列式 48

十八、可逆矩阵、逆矩阵 48

十九、伴随矩阵A？ 48

二十、矩阵A是非奇异的 48

二十一、分块矩阵 49

二十二、对角矩阵 49

二十三、分块矩阵的加、减法，乘法，转置及分块矩阵的逆矩阵 49

二十四、数量矩阵 51

二十五、三对角矩阵 51

二十六、三角矩阵 51

二十七、对称矩阵 51

二十八、反对称矩阵 51

二十九、正交矩阵 52

三十、初等行变换、初等列变换、初等变换 52

三十一、初等矩阵 52

三十二、矩阵的秩 52

三十三、阶梯形矩阵 52

三十四、满秩矩阵 52

第二节 本章的主要定理 52

一、矩阵加法的性质 52

二、数乘矩阵的性质 52

三、矩阵乘法的性质 53

四、单位矩阵的性质 53

五、矩阵转置的性质 53

六、方阵行列式定理 53

七、逆矩阵的性质 54

八、关于可逆矩阵的定理 54

九、几种特殊矩阵的性质 54

十、矩阵的秩的主要性质 55

十一、关于初等变换的定理 55

第三节 本章的主要解题方法 55

一、矩阵的加法、数乘和乘积运算 55

二、求多个n阶方阵相乘行列式的方法 59

三、求逆矩阵的方法 60

四、运用逆矩阵、解矩阵方程的方法 63

五、求矩阵的秩的方法 67

第四节 本章的习题解析 68

习题2.1 68

习题2.2 70

习题2.3 74

习题2.4 74

习题2.5 75

习题2.6 79

习题2.7 87

习题2.8 91

习题2.9 96

习题2.10 104

习题2.11 111

补充题二 118

第三章 线性方程组 126

第一节 本章的主要概念 126

一、线性方程组 126

二、增广矩阵 127

三、基本未知数(元)、自由未知数(元) 127

四、相容 127

五、n维向量 127

六、线性组合、线性表出与组合系数 127

七、线性相关与线性无关 127

八、极大无关组 128

九、向量组的秩 128

十、n维向量空间Rn 128

十一、向量子空间(简称子空间) 128

十二、子空间的基和维数 128

十三、坐标向量与坐标分量 129

十四、解空间 129

十五、基础解系 129

十六、齐次方程组AX=0的通解 129

十七、非齐次方程组AX=B(B？0)的特解与通解 129

第二节 本章的主要定理 129

一、同解定理 129

二、相容性定理 130

三、齐次线性方程组AX=0有无非零解的定理 130

四、关于线性相关性的定理 130

五、关于向量组的秩、极大无关组的定理 130

六、齐次线性方程组解的结构定理 130

七、非齐次线性方程组解的结构定理 130

第三节 本章的主要解题方法 131

一、高斯(Gauss)消元法 131

二、在不解线性方程组的情况下，判定线性方程组是否有解的方法 133

三、判别向量组的线性相关性的方法 135

四、求已知向量β能否用已知向量组α1，α2……αs线性表出的方法 138

五、求一组向量的秩与极大无关组的方法 139

六、求向量空间V的维数和基的方法 141

七、求齐次线性方程组AX=0的基础解系及通解的方法 144

八、求非齐次方程组AX=B的通解的方法 146

第四节 本章的习题解析 148

习题3.1 148

习题3.2 155

习题3.3 159

习题3.4 170

习题3.5 175

习题3.6 183

补充题三 203

第四章 矩阵的特征值、特征向量及二次型 210

第一节 本章的主要概念 210

一、矩阵的特征值与特征向量 210

二、特征矩阵与特征多项式 210

三、向量的内积 210

四、向量的正交 211

五、正交向量组 211

六、向量的长度 211

七、单位向量 211

八、正交的单位向量组 211

九、向量的单位化 211

十、相似矩阵 211

十一、矩阵A的迹 211

十二、矩阵A可对角化 211

十三、n元二次型、二次型的矩阵 211

十四、化二次型为标准形 212

十五、正交变换 212

十六、二次型f(x1,x2,……xn)的秩 212

十七、正惯性指数与负惯性指数 212

十八、正定二次型 212

十九、正定矩阵 212

二十、k阶主子式(k≤n) 212

二十一、k阶顺序主子式 212

二十二、负定、半正定与半负定的二次型 213

二十三、负定、半正定与半负定矩阵 213

第二节 本章的主要定理 213

一、矩阵特征值和特征向量的定理 213

二、矩阵特征值、特征向量的性质定理 213

三、相似矩阵的性质 213

四、矩阵可对角化的定理 213

五、二次型化标准形的定理 214

六、惯性定理 214

七、正定矩阵的判定定量 214

第三节 本章的主要解题方法 214

一、计算n阶方阵A的特征值与特征向量的方法 214

二、施密特(Schmidt)正交化过程 216

三、利用正交矩阵，将对称矩阵化为对角矩阵的方法 217

四、化二次型为标准形的方法 219

五、判断二次型或对称矩阵正定的方法 224

第四节 本章的习题解析 226

习题4.1 226

习题4.2 234

习题4.3 243

补充题四 259