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上篇 线性方程组的一般理论问题 1

引言 线性方程组的建立与消元解法 1

1 线性方程组的建立 1

2 消元法与增广矩阵上的某些初等变换 5

3 几点注记 12

习题 13

第二章 矩阵代数 16

1 矩阵代数 16

2 矩阵的初等变换与等价标准形 22

3 分块矩阵 26

习题一 33

第二章 一类特殊线性方程组的行列式法则(Cramer法则) 37

1 n阶(方阵的)行列式 37

2 行列式的基本性质(特别地，方阵代数与行列式)及其应用 41

3 线性方程组的Cramer法则 50

4 行列式的展开式 55

习题二 57

1 n元向量的线性相关性与方程组的可解性 62

第三章 线性方程组的一般理论 62

2 矩阵的秩与方程组的可解性 67

3 线性方程组的解的结构 75

习题三 86

第四章 线性空间与线性方程组 92

1 线性空间与其子空间 92

2 维数、基底、坐标与Cramer法则 96

3 坐标变换与Cramer法则 102

4 线性空间的同构与线性方程组理论的一个应用 106

5 线性方程组解集的几何结构 109

习题四 111

第五章 对称双线性度量空间与线性方程组 116

1 线性空间上的线性和双线性函数 116

2 对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释 121

3 Euclid空间 125

4 向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法 133

习题五 138

引言 二次型主轴问题的几何原型 143

下篇 实二次型的主轴问题 143

1 二次型的一般问题 144

2 从二次曲线讲起--实二次型主轴问题的几何原型 146

习题 153

第六章 线性空间上的线性变换 154

1 线性变换及其运算和矩阵表示 154

2 不变子空间，特征根与特征向量 164

3 特征多项式与最小多项式 169

习题六 182

第七章 线性空间关于线性变换的一类直和分解 190

1 线性变换的象与核 190

2 线性空间关于线性变换的一类直和分解 195

习题七 199

第八章 Euclid空间上的两类线性变换与二次型主轴问题 200

1 正交变换与对称变换 200

2 二次型的主轴问题 206

3 一个应用(将一对实二次型同时化简为平方和) 213

4 二次型的一般问题 219

习题八 237

第九章 引伸--一般矩阵的(相似)标准形 241

1 λ矩阵及其等价标准形 241

2 λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子 248

3 矩阵的相似与其特征矩阵的等价 252

4 矩阵的不变因子与Frobenius(有理)标准形 255

5 矩阵的初等因子与Jacobson(特例为Jordan)标准形 258

习题九 264

1 集合，映射与运算 268

附录 整数，数域与多项式 268

2 整数 273

3 数域 278

4 多项式与多项式函数 279

5 带余除法和余数定理 283

6 最大公因式与最小公倍式 285

7 因式分解与重因式 291

8 C，R和Q上的多项式 297

习题 303

参考文献 310