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第一部分 点集拓扑学基础 1

第一章 拓扑空间与同胚映射 1

1.1 集合与映射 1

1.2 拓扑空间 6

1.3 基本运算：内部与闭包 14

1.4 可数公理与分离公理 19

1.5 连续映射与同胚 26

第二章 紧致性和连通性 37

2.1 紧致性 37

2.2 单点紧致化 42

2.3 连通性 46

2.4 道路连通性 52

3.1 引言与代数预备 56

第三章 同伦与基本群 56

第二部分 代数拓扑学初步 56

3.2 映射的同伦和空间的伦型 61

3.3 基本群 67

3.4 基本群的性质 73

第四章 多面体的同调群 80

4.1 单纯复形与多面体 80

4.2 复形的同调群 87

4.3 同调群的伦型不变性 94

4.4 伪流形与Brouwer定理 103

第三部分 微分拓扑学方法 116

第五章 微分流形和光滑映射 116

5.1 欧氏空间的光滑映射 116

5.2 微分流形及光滑映射 124

5.3 光滑映射的正则值 131

5.4 带边流形 138

第六章 Sard定理及其应用 145

6.1 零测集和Sard定理 145

6.2 一维流形分类 156

6.3 Brouwer不动点定理 161

6.4 Morse函数 167

第四部分 同伦算法及应用 177

第七章 连续同伦算法和单纯同伦算法 177

7.1 同伦算法几何理论 177

7.2 一维原型与单纯剖分 182

7.3 渐细单纯剖分 191

7.4 单纯同伦算法 202

第八章 Kuhn零点算法 209

8.1 算法结构 209

8.2 收敛性证明 216

8.3 计算成本的估计 221

8.4 超越函数零点计算 228

第五部分 不动点定理及其应用 236

第九章 Brouwer定理的应用 236

9.1 标准闭单形的连续自映射 236

9.2 经济平衡问题 240

9.3 博奕论问题 244

9.4 优化问题 247

9.5 非线性互补问题 248

第十章 不动点的计算方法 251

10.1 标准闭单形的单纯剖分 251

10.2 Sperner引理和KKM引理 255

10.3 Kuhn变维数算法 260

10.4 Van der Laan-Talman算法 266

参考文献 276