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第1章 绪论 1

1.1 引言 1

1.1.1 计算方法的对象与特点 1

1.1.2 为什么要研究计算方法 2

1.1.3 评价方法的优劣标准 3

1.2 误差的来源与分析误差的重要性 4

1.2.1 误差的来源与分类 4

1.2.2 误差理论在数值计算中的作用 5

1.3 误差的基本概念 9

1.3.1 误差与误差限 9

1.4 数值运算的误差估计 12

1.4.1 和、差的误差估计 12

1.4.2 积、商的误差估计 13

1.4.3 函数的误差估计 14

1.5 数值运算中误差分析的若干原则 15

习题一 16

第2章 非线性方程求根 18

2.1 引言 18

2.2 根的隔离 18

2.3 对分法 19

2.4 迭代法 20

2.5 牛顿(Newton)法 25

2.5.1 迭代公式 25

2.5.2 几何意义 25

2.5.3 牛顿法的局部收敛性 26

2.5.4 牛顿法初值的选取 26

2.5.5 牛顿法的收敛速度 28

2.5.6 牛顿法应用举例 29

2.6.1 弦截法 30

2.6 弦截法和试位法 30

2.6.2 试位法 31

习题二 31

第3章 线性方程组解法 33

3.1 引言 33

3.2 高斯消去法 34

3.2.1 高斯消去法 34

3.2.2 矩阵的三角分解 37

3.2.3 计算量 40

3.3 高斯列主元素消去法 41

3.3.1 选主元的必要性 41

3.3.2 列主元消去法 42

3.4 高斯-约当消去法与矩阵求逆 44

3.4.1 高斯-约当消去法 44

3.4.2 矩阵求逆 47

3.5 直接三角分解法 48

3.6 向量范数和矩阵范数 51

3.6.1 向量范数 51

3.6.2 矩阵范数 53

3.6.3 解线性方程组的误差分析 56

3.6.4 方阵的条件数 58

3.7 简单迭代法 60

3.8 高斯-塞德尔迭代法 63

3.9 迭代法的收敛性 66

3.10 矩阵特征值的计算方法 71

3.10.1 引言 71

3.10.2 求按模最大特征值的幂法 72

习题三 76

4.1 引言 78

第4章 插值法与数值微分 78

4.2 拉格朗日插值 79

4.2.1 插值多项式的存在性和唯一性 79

4.2.2 线性插值和抛物线插值 79

4.2.3 拉格朗日插值多项式 81

4.2.4 插值余项 82

4.3 均差与牛顿插值公式 85

4.3.1 均差及其性质 85

4.3.2 牛顿插值公式 87

4.3.3 拉格朗日插值公式与牛顿插值公式计算量分析 89

4.4 差分与等距节点插值公式 90

4.4.1 差分及其性质 90

4.4.2 等距节点插值公式 92

4.5 分段线性插值 94

4.6 埃尔米特插值 97

4.7 三次样条插值 99

4.7.1 问题的提出 99

4.7.2 三次样条函数的定义 100

4.7.3 三次样条函数的推导 100

4.8 曲线拟合与最小二乘法 103

4.8.1 曲线拟合的概念 103

4.8.2 线性拟合 106

4.8.3 多项式拟合 109

4.9 数值微分 111

习题四 114

第5章 数值积分 116

5.1 引言 116

5.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 116

5.3.1 求积公式的代数精确度 120

5.3 求积公式的误差估计 120

5.3.2 求积公式的舍入误差 121

5.3.3 求积公式的截断误差 122

5.4 复化求积公式 123

5.4.1 复化梯形公式 123

5.4.2 复化辛卜生公式 124

5.4.3 复化柯特斯公式 125

5.4.4 复化求积公式的收敛性 127

5.4.5 步长的自动选择 127

5.5 线性加速法 128

5.6 方法评述 133

习题五 133

第6章 常微分方程初值问题的数值解法 135

6.1 引言 135

6.2.1 欧拉(Euler)方法 136

6.2 几种简单的数值解法 136

6.2.2 梯形公式 140

6.2.3 改进的欧拉方法 140

6.3 R-K方法 141

6.3.1 泰勒级数法 141

6.3.2 R-K方法的基本思想 142

6.3.3 二阶R-K方法 143

6.3.4 四阶R-K方法 144

6.4 线性多步法 146

6.5 预估-校正公式 148

6.6 方法评述 149

习题六 150

部分习题参考答案 151

参考文献 153