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第1章 集合与测度 1

1.1 集合及映射 1

1.2 度量空间 8

1.3 Lebesgue可测集 16

习题1 24

第2章 可测函数 27

2.1 简单函数与可测函数 27

2.2 可测函数的性质 31

2.3 可测函数列的收敛性 40

习题2 44

第3章 Lebesgue积分 46

3.1 Lebesgue积分的概念与性质 47

3.2 积分收敛定理 55

3.3 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 64

3.4 微分和积分 67

3.5 Fubini定理 78

3.6 Riemann Stieltjes积分 80

习题3 91

第4章 线性赋范空间 94

4.1 线性空间 94

4.2 线性赋范空间 97

4.3 线性赋范空间中的收敛 102

4.4 空间的完备性 106

4.5 列紧性与有限维空间 109

4.6 不动点定理 114

4.7 拓扑空间简介 117

习题4 118

第5章 内积空间 119

5.1 内积空间与Hilbert空间 119

5.2 正交与正交补 122

5.3 正交分解定理 124

5.4 内积空间中的Fourier级数 125

习题5 129

第6章 有界线性算子与有界线性泛函 131

6.1 有界线性算子 131

6.2 开映射定理、共鸣定理和Hahn－Banach定理 136

6.3 共轭空间与共轭算子 139

6.4 几种收敛性 149

6.5 算子谱理论简介 151

习题6 159

第7章 Banach空间中的微分和积分 161

7.1 非线性算子的有界性和连续性 161

7.2 微分与导算子 163

7.3 Riemann积分 172

7.4 高阶微分 176

7.5 隐函数定理与反函数定理 179

习题7 185

第8章 泛函的极值 187

8.1 泛函极值问题的引入 187

8.2 泛函的无约束极值 189

8.3 泛函的约束极值问题 195

8.4 算子方程的变分原理 203

习题8 208

参考文献 210