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第一章 数学抽象，为了人类心智的荣耀 2

1.1 开头的话 3

1.2 数学是什么 4

1.3 数学思维的特点 9

1.4 数学学习 19

第二章 无穷是个新世界——无穷集合 28

2.1 梵塔之谜 29

2.2 希尔伯特旅馆 32

2.3 有理数的“空隙” 36

2.4 无穷集合的基数 41

2.5 集合的长度 44

第三章 从圆的面积谈起——微积分学 52

3.1 古典的微积分 53

3.2 牛顿-莱布尼茨的微积分 58

3.3 微积分的发展 68

第四章 走出平面国——线性空间 80

4.1 走出平面国 81

4.2 鸡兔同笼问题 85

4.3 向量组的秩与方程组的解 90

4.4 向量的空间——线性空间 95

第五章 距离和测地线——泛函分析 106

5.1 从距离说起 107

5.2 度量空间和赋范空间 114

5.3 希尔伯特空间 120

5.4 拓扑空间 124

第六章 落在城隍庙的地图——不动点定理 134

6.1 落在城隍庙的地图 135

6.2 搅动的咖啡 138

6.3 无穷维的赋范空间 144

6.4 不动点定理在经济学中的应用 147

第七章 声音的本质——傅里叶分析 158

7.1 声音的本质是什么 159

7.2 傅里叶定理 164

7.3 音乐与数学 167

7.4 傅里叶定理的启示 171

7.5 傅里叶分析的发展 174

第八章 海岸线的长度——混沌与分形 184

8.1 混沌带来新思维 185

8.2 分形 193

8.3 混沌游戏 200

第九章 哥德尔不完全定理 210

9.1 第一次数学危机 211

9.2 第二次数学危机 213

9.3 第三次数学危机 216

9.4 科学巨匠哥德尔 219

9.5 哥德尔不完全定理 221

后记 228

参考文献 230