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目 录 1

第六章微分方程 1

第一节微分方程的基本概念 1

1.1应用问题举例 1

1.2微分方程的解 3

习题6-1 6

第二节一阶微分方程 7

2.1可分离变量的微分方程 7

2.2一阶线性微分方程 12

习题6-2 17

第三节高阶线性微分方程 19

3.1高阶线性微分方程的概念 19

3.2朗斯基行列式 23

3.3高阶线性微分方程的通解结构 26

习题6-3 28

第四节常系数线性微分方程的解法 29

4.1常系数齐次线性微分方程的解法 29

4.2常系数非齐次线性微分方程的解法 33

4.3应用举例 42

4.4欧拉方程 47

习题6-4 49

第五节可降阶的高阶微分方程 51

习题6-5 55

第六节微分方程的幂级数解法 56

习题6-6 60

附录 61

第七节常系数线性微分方程组解法举例 61

习题6-7 67

第八节常系数线性微分方程的算子解法 68

8.1算子及其性质 68

8.2运算子及其性质 70

8.3微分方程算子解法举例 73

习题6-8 78

杂题 78

第七章向量与空间解析几何 81

第一节向量及其基本运算 81

1.1 向量的概念 81

1.2向量的加法 82

1.3数与向量的乘法 83

1.4向量的线性组合与向量的分解 86

1.5有序向量的定向 88

习题7-1 90

2.1空间直角坐标系 91

第二节空间直角坐标系 向量的坐标 91

2.2向量的坐标 93

2.3用坐标作向量运算 95

习题7-2 98

第三节向量的数量积与向量积 99

3.1向量的数量积 99

3.2向量的向量积 103

3.3混合积与三重向量积 107

习题7-3 110

4.1空间直线的方程 112

第四节空间直线与平面 112

4.2平面的方程 114

4.3有关平面与直线的问题举例 119

习题7-4 124

第五节曲面与空间曲线 127

5.1曲面与空间曲线的方程 127

5.2柱面与锥面 130

5.3空间曲线在坐标面上的投影 135

5.4二次曲面 136

习题7-5 141

第六节 向量值函数及其导数与积分空间曲线的切线 143

6.1向量值函数的概念 143

6.2向量值函数的极限与连续性 146

6.3向量值函数的导数与积分 147

6.4空间曲线的切线 151

习题7-6 152

第七节曲线的弧长 曲率 153

7.1 曲线的弧长 光滑曲线 153

7.2曲率 159

7.3向径与切线的夹角 162

习题7-7 163

第八节曲线运动 165

8.1速度和加速度 165

附录 165

8.2单位向量的导数 167

8.3速度向量与加速度向量的分解 167

8.4切向加速度与法向加速度 170

习题7-8 172

第九节坐标变换 173

9.1平移变换 173

9.2旋转变换 175

9.3正交变换 180

习题7-9 181

杂题 183

1.1多元函数的概念 187

第一节多元函数的极限与连续性 187

第八章多元函数及其微分法 187

1.2二元函数的图形 188

1.3二元函数的极限与连续性 192

习题8-1 196

第二节偏导数 196

2.1偏导数的概念开集 196

2.2偏导数的几何意义 200

2.3 高阶偏导数 203

习题8-2 205

3.1复合函数的全导数 207

第三节 复合函数的微分法 207

3.2曲面的切平面与法线 209

3.3方向导数与梯度 211

3.4复合函数的偏导数 216

习题8-3 221

第四节隐函数的微分法 曲面的参数方程 224

4.1一个方程的情形 224

4.2方程组的情形 226

4.3曲面的参数方程光滑曲面 229

习题8-4 235

5.1全微分的概念 237

第五节全微分 237

5.2全微分形式的不变性 241

习题8-5 245

第六节 多元函数的极值与条件极值 247

6.1多元函数的极值区域 247

6.2条件极值 251

习题8-6 255

附录 256

第七节二元函数的泰勒公式 256

7.1二元函数的一阶泰勒公式 256

7.2极值充分条件的证明 260

7.3二元函数的n阶泰勒公式 265

习题8-7 267

杂题 267

第九章重积分 271

第一节二重积分及其计算 271

1.1二重积分的概念与性质 271

1.2平面区域的表示法 274

1.3二重积分的计算 276

习题9-1 280

第二节二重积分的换元法 282

2.1极坐标系的情形 282

2.2曲线坐标系的情形 288

习题9-2 297

第三节二重积分的应用 299

3.1物理应用 299

3.2曲面的面积 302

习题9-3 306

第四节三重积分 308

4.1三重积分的概念 308

4.2三重积分的计算 309

4.3利用柱面坐标计算三重积分 312

4.4利用球面坐标计算三重积分 315

4.5三重积分的一般换元公式 318

习题9-4 322

附录 324

第五节广义二重积分含参量的积分 324

5.1广义二重积分举例 324

5.2含参量的积分 326

5.3Γ函数与B函数 331

习题9-5 334

杂题 335

第十章曲线积分与曲面积分 338

第一节曲线积分 338

1.1对弧长的曲线积分 338

1.2对坐标的曲线积分 343

1.3两类曲线积分之间的联系 350

习题10-1 352

第二节格林公式 353

习题10-2 359

第三节 曲线积分与路径无关的条件 360

3.1曲线积分与路径无关的条件 360

3.2全微分方程 370

习题10-3 372

第四节曲面积分 374

4.1对面积的曲面积分 374

4.2对坐标的曲面积分 379

习题10-4 386

第五节高斯公式通量与散度 387

5.1高斯公式 387

5.2通量与散度 391

习题10-5 393

第六节斯托克斯公式旋度与环量 395

6.1斯托克斯公式 395

6.2旋度与环量 398

习题10-6 404

杂题 405

习题答案 409