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第一章 几何与代数方法初步 1

§1．1 引言 1

§1．2 向量 3

1．2．1 直角坐标系 3

1．2．2 向量及其表示 4

1．2．2 向量的内积、外积 6

习题 9

§1．3 空间中的平面与直线 10

1．3．1 空间中的平面及其方程 10

1．3．2 空间中的直线及其方程 13

1．3．3 平面与直线的关系 17

习题 25

1．4．1 空间曲面 27

§1．4 二次曲面 27

1．4．2 柱面及其方程 29

1．4．3 锥面及其方程 33

1．4．4 旋转面及其方程 37

1．4．5 直纹面 41

1．4．6 常见二次曲面的分类 44

习题 47

§1．5 行列式 50

1．5．1 问题的提出 50

1．5．2 行列式的定义及性质 51

习题 64

§1．6 矩阵 65

1．6．1 矩阵的定义及运算，初等变换 65

1．6．2 矩阵的秩 82

1．6．3 利用矩阵讨论线性方程组的解 89

习题 101

§2．1 引言 106

第二章 导数——函数的分析与研究Ⅰ 106

习题 110

§2．2 极限 111

2．2．1 数列的极限 111

2．2．2 函数的极限 113

2．2．3 极限运算及判别准则 115

2．2．4 两个重要的极限 117

2．2．5 无穷小量、无穷大量 121

2．2．6 函数的连续性 122

习题 127

§2．3 导数 129

2．3．1 函数的导数概念 129

2．3．2 几种初等函数的导数 133

2．4．1 导数的四则运算 134

§2．4 求导法则 134

2．4．2 反函数的求导法则 135

2．4．3 复合函数的求导法则 137

2．4．4 对数求导法则 138

2．4．5 隐函数求导法则 138

2．4．6 参数式求导法则 139

2．4．7 导数基本公式表 139

习题 140

§2．5 导数应用 141

2．5．1 应用的依据——三个重要定理 141

2．5．2 求极限的洛必达法则 143

2．5．3 函数性质及其图形的研究 145

2．5．4 平面曲线的曲率 152

2．6．1 微分的定义、几何意义 154

§2．6 微分 154

2．6．2 微分的运算法则 155

2．6．3 微分的应用 156

习题 160

§2．7 多元函数 161

2．7．1 多元函数的概念 161

2．7．2 多元函数的极限 162

2．7．3 多元函数的连续性 165

2．7．4 多元函数的偏导数 166

2．7．5 多元函数的全微分、方向导数 167

2．7．6 多元函数的复合 170

2．7．7 应用 173

习题 177

§3．1 积分定义 182

第三章 积分——函数的分析与研究Ⅱ 182

§3．2 积分性质与计算 187

3．2．1 定积分的性质，牛顿——莱布尼茨公式 187

3．2．2 不定积分的定义、性质、意义与积分法 189

3．2．3 定积分的计算 207

3．2．4 椭圆积分 210

习题 211

§2．3 多重积分 216

3．3．1 二重积分的定义、性质 216

3．3．2 二重积分的计算，直角坐标、极坐标下的计算公式 219

3．3．3 二重积分换元积分法 223

3．3．4 三重积分及多重积分 225

习题 235

§3．4 曲线积分、曲面积分 238

3．4．1 第一型曲线积分定义、性质、计算公式 238

3．4．2 第二型曲线积分定义、性质、计算公式 242

3．4．3 第一型曲面积分定义、性质、计算公式 247

3．4．4 第二型曲面积分定义、性质、计算公式 252

3．4．5 格林公式、斯托克斯公式、高斯公式 260

习题 275

§3．5 积分的应用 277

3．5．1 曲线长度、曲面面积、立体体积 277

3．5．2 力、力矩、惯性矩、转动惯量 284

3．5．3 场论——梯度、散度、旋度 290

习题 299

§3．6 反常积分，含参量的积分 301

3．6．1 收敛性与发散性、判别法 301

3．6．2 含参量的积分，一致收敛概念 309

3．6．3 斯蒂尔切斯积分 316

习题 317

§3．7 复变量函数的微积分 318

3．7．1 复数与复映射 318

3．7．2 复映射的极限、微积分 322

习题 332

§3．8 勒贝格积分 333

3．8．1 勒贝格积分的定义，黎曼积分的推广 333

3．8．2 勒贝格积分的重要性质 336

3．8．3 黎曼积分与勒贝格积分的比较 338

3．8．4 勒贝格平方可积空间 340

习题 340

附录 341

Fourier变换表 341

习题答案 345

参考文献 365