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第一章 行列式 1

§1.1 行列式的定义 1

一、二阶和三阶行列式 1

二、逆序数与对换 4

三、n阶行列式的定义 5

§1.2 行列式的性质 7

§1.3 行列式的展开 13

§1.4 克莱姆法则 19

习题一 23

一、矩阵的定义 26

§2.1 矩阵的概念 26

第二章 矩阵 26

二、一些特殊的矩阵 27

三、矩阵应用实例 28

§2.2 矩阵的运算 30

一、矩阵的线性运算 30

二、矩阵的乘法运算 31

三、矩阵的转置 34

四、对称矩阵和反对称矩阵 35

§2.3 方阵的行列式与逆矩阵 36

一、方阵的行列式 36

二、逆矩阵 37

§2.4 矩阵分块法 43

一、分块矩阵的概念 43

二、分块矩阵的运算 44

习题二 49

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 54

§3.1 初等变换 54

§3.2 初等矩阵 57

§3.3 矩阵的秩 63

§3.4 n维向量 67

一、向量 67

二、向量的线性运算 68

§3.5 线性方程组的解法 69

一、线性方程组的一般概念 69

二、线性方程组有解的充分必要条件 71

三、线性方程组的解法 73

四、齐次线性方程组 78

习题三 82

第四章 向量组的线性相关性 86

§4.1 向量的线性表示与等价 86

一、向量的线性表示 86

二、向量组的等价 89

§4.2 向量组的线性相关性 91

§4.3 向量组的秩 95

§4.4 向量空间 100

一、向量空间定义 100

二、基和维数 101

§4.5 线性方程组解的结构 102

一、齐次线性方程组解的结构 103

二、非齐次线性方程组解的结构 107

§4.6 向量的内积与正交化方法 109

一、向量的内积 109

二、向量的正交化方法 110

三、正交矩阵 113

习题四 115

第五章 矩阵的特征值与特征向量 121

§5.1 矩阵的特征值与特征向量 121

§5.2 相似矩阵 128

一、相似矩阵 128

二、矩阵的对角化 131

§5.3 实对称矩阵的对角化 136

一、实对称矩阵的特征值与特征向量 137

二、实对称矩阵的对角化 140

习题五 145

§6.1 二次型及其矩阵表示 149

第六章 二次型 149

§6.2 二次型的标准形与惯性定律 151

一、线性变换 151

二、矩阵的合同 152

三、二次型的标准形与惯性定律 153

§6.3 化二次型为标准形的几种方法 157

一、正交变换法 157

二、拉格朗日配方法 161

三、初等变换法 163

一、二次型的分类 168

二、二次型和实对称矩阵的正定性 168

§6.4 二次型的分类 168

习题六 177

第七章 线性空间与线性变换 180

§7.1 线性空间的定义及其性质 180

§7.2 基、维数与坐标 184

§7.3 基变换与坐标变换 192

§7.4 线性子空间 196

§7.5 线性空间的同构 198

§7.6 线性变换的定义及其性质 202

§7.7 线性变换的矩阵 206

习题七 213

附录 习题参考答案 219