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绪论 1

第一章 微分流形 9

1.1 微分流形 9

1.2 光滑映射 17

1.3 切向量和切空间 21

1.4 单位分解定理 25

1.5 光滑切向量场 33

1.6 光滑张量场 38

1.7 外微分式 43

1.8 外微分式的积分和Stokes定理 48

1.9 切丛和向量丛 53

习题一 64

第二章 黎曼流形 83

2.1 黎曼度量 83

2.2 黎曼流形的例子 90

2.3 切向量场的协变微分 99

2.4 联络和黎曼联络 107

2.5 黎曼流形上的微分算子 118

2.6 联络形式 133

2.7 平行移动 139

2.8 向量丛上的联络 144

习题二 151

第三章 测地线 171

3.1 测地线的概念 171

3.2 指数映射 179

3.3 弧长的第一变分公式 183

3.4 Gauss引理和法坐标系 190

3.5 测地凸邻域 199

3.6 Hopf-Rinow定理 205

习题三 211

第四章 曲率 219

4.1 曲率张量 219

4.2 曲率形式 229

4.3 截面曲率 239

4.4 Ricci曲率和数量曲率 246

4.5 Ricci恒等式 250

习题四 257

第五章 Jacobi场和共轭点 267

5.1 Jacobi场 268

5.2 共轭点 278

5.3 Cartan-Hadamard定理 283

5.4 Cartan等距定理 290

5.5 空间形式 298

习题五 306

第六章 弧长的第二变分公式 313

6.1 弧长的第二变分公式 313

6.2 Bonnet-Myers定理 317

6.3 Synge定理 320

6.4 基本指标引理 327

6.5 Rauch比较定理 341

习题六 350

第七章 黎曼流形的子流形 357

7.1 子流形的基本公式 358

7.2 子流形的基本方程 369

7.3 欧氏空间中的子流形 376

7.4 极小子流形 391

7.5 体积的第二变分公式 407

习题七 426

习题解答和提示 437