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第一章 函数、极限、连续 1

1.1 函数 1

一、集合 1

二、函数概念 3

三、函数的简单性质 4

四、反函数、复合函数、基本初等函数和初等函数 6

习题1.1 10

1.2 极限 11

一、数列极限 11

二、函数极限 13

三、极限运算法则 16

四、两个重要极限 18

五、无穷小量与无穷大量 21

习题1.2 25

1.3 连续 26

一、函数连续的概念 26

二、连续函数的性质与初等函数的连续性 29

三、闭区间上连续函数的性质 31

习题1.3 33

第二章 导数与微分 34

2.1 导数概念 34

一、导数定义 34

二、几个基本初等函数的导数公式 36

三、可导与连续的关系 38

一、函数的和、差、积、商的求导法则 39

2.2 导数的运算法则 39

习题2.1 39

二、复合函数求导法则 41

三、反函数求导法则 43

四、初等函数的求导问题 44

习题2.2 45

2.3 高阶导数、隐函数及参量函数的导数 46

一、高阶导数 46

二、隐函数的导数 47

三、由参数方程所确定的函数的导数 49

习题2.3 51

2.4 微分 52

一、微分的定义及几何意义 52

二、微分的运算法则 54

三、微分的应用 57

习题2.4 60

第三章 导数的应用 62

3.1 微分中值定理、洛必达法则 62

一、罗尔定理 62

二、拉格朗日中值定理 63

三、洛必达法则 65

习题3.1 67

3.2 函数的单调性与极值 68

一、函数单调性的判别法 68

二、函数极值的判别法 69

三、最大值和最小值的求法 72

3.3 函数图象的描绘 75

习题3.2 75

一、曲线的凹凸性与拐点 76

二、函数作图举例 78

习题3.3 80

3.4 曲率 81

一、弧微分 81

二、曲率公式 82

三、曲率半径和曲率圆 84

习题3.4 85

3.5 方程的近似解 85

一、弦位法 86

二、切线法 88

习题3.5 89

第四章 积分 90

4.1 不定积分 90

一、原函数与不定积分的概念 90

二、基本积分表 91

三、不定积分的性质 92

习题4.1 93

4.2 定积分 94

一、定积分的概念 94

二、定积分的性质 96

习题4.2 99

4.3 微积分的基本定理 99

一、变上限函数及其导数 99

二、牛顿-莱布尼兹公式 100

习题4.3 101

4.4 换元积分法 102

一、不定积分第一类换元法 102

二、不定积分第二类换元法 105

三、定积分的换元积分法 107

习题4.4 110

4.5 分部积分法 111

习题4.5 115

4.6 积分表的使用法 115

习题4.6 116

4.7 广义积分 117

一、无穷限的广义积分 117

二、无界函数的广义积分 118

习题4.7 119

4.8 定积分的近似计算 120

一、矩形法 120

二、梯形法 120

三、抛物线法 121

习题4.8 123

第五章 定积分的应用 124

5.1 定积分的元素法 124

5.2 定积分在几何上的应用 125

一、平面图形的面积 125

二、旋转体的体积 128

三、平面曲线的弧长 130

习题5.2 133

5.3 定积分在物理上的应用 134

一、功 134

二、水压力 136

三、引力 138

习题5.3 138

第六章 微分方程 140

6.1 微分方程的基本概念 140

习题6.1 142

6.2 一阶微分方程 143

一、可分离变量的方程 143

二、齐次方程 144

三、一阶线性方程 146

习题6.2 148

6.3 一阶微分方程的应用举例 149

一、在几何中的应用 149

二、在物理中的应用 151

习题6.3 154

6.4 二阶常系数线性微分方程 155

一、二阶常系数齐次线性方程 155

二、二阶常系数非齐次线性方程 158

习题6.4 162

第七章 向量代数与空间解析几何 164

7.1 向量代数 164

一、空间直角坐标系 164

二、向量及其坐标表示 166

三、向量的乘法 170

习题7.1 174

7.2 空间的平面与直线 175

一、平面及其方程 175

二、直线及其方程 177

习题7.2 179

7.3 空间的曲面与曲线 180

一、空间曲面 180

二、常见二次曲面及其方程 184

三、空间曲线 186

四、空间曲线在坐标面上的投影 188

习题7.3 189

一、多元函数的概念 191

8.1 多元函数的概念、极限与连续 191

第八章 多元函数微分学 191

二、多元函数的极限与连续 192

习题8.1 194

8.2 偏导数与全微分 194

一、偏导数定义及其计算 194

二、高阶偏导数 196

三、全微分 197

习题8.2 198

8.3 多元复合函数与隐函数的微分法 199

一、复合函数的微分法 199

二、隐函数的微分法 200

一、空间曲线的切线与法平面 202

8.4 偏导数的几何应用 202

习题8.3 202

二、曲面的切平面与法线 204

习题8.4 205

8.5 多元函数的极值 206

一、二元函数的极值 206

二、最大值与最小值 207

习题8.5 208

第九章 多元函数积分学 209

9.1 二重积分 209

一、二重积分的概念 209

二、二重积分的性质 211

三、二重积分的计算 212

习题9.1 219

9.2 二重积分的应用 220

一、曲面的面积 220

二、平面薄片的重心 221

三、平面薄片的转动惯量 223

习题9.2 223

9.3 对坐标的曲线积分 224

一、对坐标的曲线积分的概念 224

二、对坐标的曲线积分的计算 225

三、格林公式 228

四、平面曲线积分与路径无关的条件 231

习题9.3 232

一、数项级数的基本概念 234

10.1 数项级数 234

第十章 无穷级数 234

二、数项级数的性质 235

习题10.1 237

10.2 数项级数收敛判别法 237

一、正项级数及其比较判别法 237

二、交错级数 241

三、任意项级数 242

习题10.2 243

10.3 幂级数及其性质 243

一、幂级数及其收敛性 244

二、幂级数的运算性质 246

一、泰勒级数 248

10.4 函数展开成幂级数 248

习题10.3 248

二、函数展开成幂级数 249

三、幂级数在近似计算中的应用 252

习题10.4 253

10.5 傅立叶级数 254

一、周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数 254

二、定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数 256

三、周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数 259

习题10.5 260

附录Ⅰ 几种常用的曲线 261

附录Ⅱ 积分表 264

附录Ⅲ 积分变换简介 272

习题答案 276