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第1章 柯西积分 1

1.1 引言 1

1.2 柯西定理和柯西积分公式 4

1.3 奇点：留数定理 8

1.4 无穷远点 13

1.5 柯西主值 16

1.6 黎曼－斯蒂捷积分：δ函数 21

1.7 普利麦吉公式 25

1.8 通过无穷远点的周线 27

1.9 反演公式：庞加莱－伯特兰公式 30

1.10 周线上的奇点 35

第2章 势论的基本问题 38

2.1 狄利克雷问题和诺伊曼问题 38

2.2 对于圆的基本问题的解 41

2.3 反射原理 46

2.4 对无限长带的基本问题的解 48

2.5 带的简单混合边界条件 53

2.6 周期边界条件 56

2.7 无限长带的周期边界条件 61

2.8 对于矩形的基本问题的解 66

2.9 狄利克雷问题解的唯一性 69

2.10 将狄利克雷问题简化为一个积分方程 73

2.11 格林函数 79

第3章 保角映射 85

3.1 一般原理 85

3.2 许瓦尔兹－克里斯托弗尔映射定理 90

3.3 映射成上半平面的积分方程 97

3.4 许瓦尔兹－克里斯托弗尔映射定理的推广 100

3.5 近似于圆的区域的映射 106

3.6 双连通区域的映射 110

3.7 格林函数与保角映射 112

3.8 核函数 116

3.9 映射和流体动力学 119

3.10 保角映射的实用方法 122

第4章 希尔伯特问题及应用 123

4.1 希尔伯特问题 123

4.2 单连通区域的黎曼－希尔伯特问题 127

4.3 黎曼－希尔伯特问题的另一种解法 133

4.4 带有不连续系数的黎曼－希尔伯特问题 136

4.5 弧的反演公式 142

4.6 奇异积分方程 144

4.7 庞加莱问题 151

4.8 威纳－霍普夫方法 154

参考文献 160