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第一章 函数 3

1 预备知识 3

1.1 实数的概述 3

1.2 区间 3

1.3 数集的有界性和确界存在定理 4

2 函数 6

2.1 函数的概念 6

2.2 函数的运算 7

2.3 反函数 8

2.4 初等函数 10

习题1.1 10

第二章 极限与连续 12

1 数列极限 12

1.1 数列极限的概念 12

1.2 利用数列极限定义证明数列极限举例 14

1.3 无穷小数列 18

1.4 收敛数列的性质 19

1.5 子列与聚点原理 25

1.6 单调有界数列的收敛性 26

1.7 柯西收敛准则 30

习题2.1 32

2函数的极限 36

2.1 自变量趋于无穷时函数的极限 36

2.2 自变量趋于某一定数时函数的极限 37

2.3 无穷小量及其性质 40

2.4 函数极限的性质 41

2.5 两个重要极限 43

2.6 无穷小量阶的比较及无穷大量 46

2.7 归结原则和柯西准则 48

习题2.2 52

3 函数的连续性 54

3.1 连续性概念 54

3.2 间断点及其分类 56

3.3 连续函数的性质 57

3.4 连续函数在闭区间上的性质 58

3.5 反函数的连续性 62

3.6 一致连续性 63

3.7 初等函数的连续性 66

3.8 利用函数的连续性求极限 67

习题2.3 69

第三章 一元函数的微分学 72

1导数与微分 72

1.1 导数和微分的概念 72

1.2 函数可导、可微与连续之间的关系 76

1.3 导数与微分的运算性质 78

1.4 基本求导公式 82

1.5 求函数的导数举例 84

1.6 导数和微分的几何意义 88

1.7 高阶导数与高阶微分 89

习题3.1 92

2 微分学基本定理 96

2.1 费马定量 96

2.2 微分中值定理 98

2.3 微分中值定理应用举例 100

习题3.2 105

3 罗必塔法则 107

3.1 0/0型和∞/∞型不定式极限 107

3.2 其他类型不定式极限 109

习题3.3 113

4 泰勒公式 114

4.1 泰勒公式 114

4.2 几个初等函数的麦克劳林展式 118

习题3.4 121

5 函数的增减性和极值 122

5.1 函数单调性的判别定理 122

5.2 函数极值的判别方法 123

5.3 函数的最大值、最小值 126

习题3.5 127

6 函数的凸凹性 128

6.1 凸凹函数的定义及判别方法 128

6.2 拐点 133

6.3 利用函数的形态特征证明不等式 134

6.4 函数作图 137

习题3.6 140

第四章 一元函数的积分学 143

1 不定积分 143

1.1 原函数与不定积分 143

1.2 基本积分公式 144

1.3 求不定积分的几种基本方法 145

1.4 求不定积分的其他方法 155

习题4.1 161

2 定积分 164

2.1 定积分的概念 164

2.2 可积的充要条件 169

2.3 可积函数类 174

2.4 定积分的性质 175

2.5 微积分基本定理 177

2.6 定积分的分部积分法与换元积分法 182

2.7 积分中值定理及应用举例 186

2.8 定积分的应用 191

习题4.2 194

3 广义积分 198

3.1 积分区间为无穷限的广义积分 198

3.2 被积函数为无界情形的广义积分 207

习题4.3 211