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第一章 张量代数学 13

1.1 指标记法 13

1.2 关于求总和的规定 15

1.3 行列式 16

1.4 一次方程组 19

1.5 齐线性变换 20

1.6 在齐线性变换下的不变量，反变向量与共变向量 22

1.7 在齐线性变换下的张量 22

1.8 张量的加法，乘法与缩短 24

1.9 关于张量的一个定理 26

1.10 向量的线性无关性 27

1.11 一般变量变换 29

1.12 在一般变量变换下的不变量，向量与张量 30

1.13 在一般变量变换下张量的加法，乘法与缩短 35

1.14 关于一般变量变换下张量的一个定理 36

2.1 黎曼度量 基本张量 38

第二章 藜曼空间 38

2.2 曲线的长 向量的长 40

2.3 二向量间的夹角 42

2.4 体积素 43

2.5 变分法的一个引理 45

2.6 测地线 46

第三章 绝对微分学 48

3.1 克氏记号 48

3.2 绝对微分或共变微分 51

3.3 梯度 旋度 散度 57

3.4 黎曼·克利斯托费尔张量 利齐张量 曲率数量 59

3.5 黎曼·克利斯托费尔张量与利齐张量的性质 61

3.6 比安基恒等式 63

3.7 黎曼曲率 64

3.8 休尔定理 65

3.9 平均曲率 利齐主方向 爱因斯坦空间 66

3.10 K?=0 的空间 68

3.11 向量的平移 70

3.12 沿无穷小闭曲线向量的平移 73

第四章 曲线论 75

4.1 测地线方程的级数展开 75

4.2 测地坐标 76

4.3 法坐标 78

4.4 张量的展开 80

4.5 弗雷内·塞雷公式 84

第五章 曲面论 89

5.1 n维黎曼空间Vn中的m维子空间Vm 89

5.2 切向量法向量 91

5.3 Vm的?与Vm的?之间的关系 92

5.4 沿Vm的广义共变微分 欧拉·斯高天曲率张量 93

5.5 子空间Vm上的曲线 96

5.6 平均曲率 平均曲率向量 98

5.7 曲率线 99

5.8 渐近曲线 100

5.9 全测地曲面 全脐点曲面 102

5.10 极小流形 104

5.11 温加顿公式 106

5.12 高斯，柯达齐和利齐方程 107

5.13 黎曼曲率的几何意义 110

第六章 平坦空间中的子空间 116

6.1 黎曼空间的类数 116

6.2 类数p的黎曼空间Vm 117

6.3 基本方程与基本定理 119

6.4 列维·齐维塔平行性的几何意义 125

7.1 微小运动 开玲方程 129

第七章 变换论 129

7.2 黎曼空间的射影变换 132

7.3 托麻斯的射影联络系数 137

7.4 黎曼空间的共形变换 139

7.5 外尔共形曲率张量 142

7.6 黎曼空间与局部欧氏空间互相共形的条件 146

7.7 Vn中的Vm的共形性质 148

索引 151