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第1章 环、模和范畴的基本知识 1

1.1 环的理想和根 1

1.1.1 理想的运算 1

1.1.2 素理想和极大理想 2

1.1.3 素根和Jacobson根 4

1.1.4 理想的根 5

1.1.5 局部环和半局部环 6

习题1.1 7

1.2 模及其基本性质 8

1.2.1 定义和例 8

1.2.2 R-模同态和同态基本定理 12

1.2.3 直积与直和 13

习题1.2 16

1.3 范畴和函子 17

1.3.1 定义和例 17

1.3.2 函子 22

1.3.3 自然变换 26

1.3.4 范畴的等价 27

习题1.3 27

第2章 模论初步 29

2.1 正合列的Hom函子 29

2.1.1 正合列和短五引理 29

2.1.2 Hom函的基本性质 33

习题2.1 36

2.2 自由模 37

习题2.2 40

2.3 投射模和内射模 41

习题2.3 47

2.4 张量积和平坦模 49

2.4.1 模的张量积 49

2.4.2 张量积函子 52

2.4.3 平坦模 56

习题2.4 59

2.5 分式环、分式模和局部化 60

2.5.1 分式环 60

2.5.2 分式模、分式化函子 63

2.5.3 局部化、局部整体性质 67

习题2.5 71

2.6 主理想整环上的有限生成模 72

习题2.6 78

第3章 Noether环和Artin环 79

3.1 理想的准素分解 79

3.1.1 准素理想 79

3.1.2 准素分解 81

习题3.1 85

3.2 Noether模和Artin模 86

3.2.1 链条件 86

3.2.2 合成列 89

习题3.2 91

3.3 Noether环 92

习题3.3 95

3.4 Artin环 96

习题3.4 99

3.5 代数集 100

3.5.1 代数集与根式理想 100

3.5.2 不可约代数与素理想 104

3.5.3 坐标环 105

3.5.4 k-代数 105

3.5.5 多项式映射 106

习题3.5 108

第4章 Dedekind整环 110

4.1 Dedekind整环及其理想类群 110

4.1.1 定义和基本性质 110

4.1.2 理想类群 113

4.1.3 Dedekind整环上的有限生成模 113

习题4.1 118

4.2 分式理想 119

习题4.2 126

4.3 整性 126

习题4.3 135

4.4 代数整数环 136

4.4.1 迹与范 136

4.4.2 整基与判别式 138

4.4.3 理想的范与理想类群的有限性 140

习题4.4 145