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第1章 整数的可除性 1

1.1 整除 1

1.2 最大公因数 4

1.2.1 带余除法 4

1.2.2 最大公因数 5

1.2.3 欧几里德算法 7

1.3 最小公倍数 13

1.4 算术基本定理 15

习题1 16

第2章 同余 18

2.1 同余的基本性质 18

2.2 完全剩余系 22

2.3 简化剩余系 26

2.4 欧拉函数 29

2.5 欧拉定理 31

2.6 Fermat（费马）小定理及应用 33

2.6.1 费马小定理 33

2.6.2 Miller－Rabin素性检测算法 34

2.7 模幂运算 35

2.7.1 模重复平方计算法 35

2.7.2 平方乘计算法 37

习题2 39

第3章 一次同余方程 40

3.1 一次同余方程 40

3.1.1 同余方程 40

3.1.2 解一次同余方程 40

3.2 一次同余方程组 45

3.2.1 中国剩余定理 45

3.2.2 同余方程的解数 49

3.2.3 扩展阅读 50

3.3 密码学中的应用 52

3.3.1 密码学的基本概念 52

3.3.2 仿射密码算法 52

3.3.3 RSA公钥密码算法 54

3.3.4 单向函数 58

3.3.5 中国剩余定理用于RSA解密 59

习题3 59

第4章 二次同余 61

4.1 二次同余方程 61

4.2 Legendre（勒让得）符号 64

4.3 扩展阅读 69

习题4 71

第5章 原根和离散对数 73

5.1 原根和阶 73

5.1.1 原根和阶的定义 73

5.1.2 原根和阶的性质 74

5.1.3 素数的原根 79

5.2 离散对数 80

5.3 离散对数在密码学中的应用 81

5.3.1 ElGamal密码算法 82

5.3.2 数字签名标准的参数选取 83

习题5 83

第6章 近世代数基础 85

6.1 群 85

6.1.1 群的基础知识 85

6.1.2 循环群 88

6.1.3 同态与同构 90

6.2 环 91

6.2.1 环 91

6.2.2 一元多项式环 93

6.3 有限域 93

6.3.1 域的定义 93

6.3.2 域上的一元多项式 94

6.3.3 域上一元多项式的运算规则 95

6.3.4 一元多项式的整除 96

6.3.5 域中的一元多项式的带余除法 97

6.3.6 多项式的公因式 97

6.3.7 不可约多项式 99

6.3.8 多项式同余 100

6.3.9 一种构造有限域的方法 101

6.4 在高级加密标准（AES）中的应用 103

6.5 扩展阅读 106

习题6 107

第7章 椭圆曲线基础 108

7.1 椭圆曲线概述 108

7.2 域Fp上的椭圆曲线 108

7.3 域F2m上的椭圆曲线 115

7.4 在密码学中的应用 119

习题7 120

参考文献 122

后记 123