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第1章 矩阵与行列式 1

1.1 矩阵及其运算 1

1.1.1 矩阵的概念 1

1.1.2 几种特殊的矩阵 3

1.1.3 矩阵的线性运算 4

1.1.4 矩阵的乘法 6

1.1.5 方阵的乘幂 9

1.1.6 矩阵的转置 10

1.1.7 矩阵在实际问题中的应用 12

1.2 n阶行列式 13

1.2.1 二阶与三阶行列式 13

1.2.2 n阶行列式的定义 15

1.2.3 几种特殊的行列式及其值 16

1.2.4 n阶行列式的性质 17

1.2.5 n阶行列式的计算 19

1.3 可逆矩阵 23

1.3.1 可逆矩阵的概念 23

1.3.2 可逆矩阵的性质 23

1.3.3 矩阵可逆的充要条件 26

1.3.4 逆矩阵的应用——克拉默法则的证明 28

1.4 分块矩阵 31

1.4.1 分块矩阵的概念 31

1.4.2 分块矩阵的运算 32

1.4.3 分块对角矩阵 35

习题一（A）练习 理解 38

习题一（B）思考 提高 39

第1章 阶段测试题 42

第2章 矩阵的初等变换与线性方程组 44

2.1 矩阵的初等变换和等价标准形 44

2.1.1 矩阵的初等变换 44

2.1.2 矩阵的等价标准形 46

2.2 初等矩阵 50

2.2.1 初等矩阵的概念 50

2.2.2 初等变换与初等矩阵的关系 51

2.2.3 求逆矩阵的初等变换法 54

2.3 矩阵的秩 56

2.3.1 矩阵秩的概念 57

2.3.2 矩阵秩的计算 57

2.4 线性方程组的求解 60

2.4.1 线性方程组的基本概念 60

2.4.2 线性方程组解的判别 61

习题二（A）练习 理解 68

习题二（B）思考 提高 69

第2章 阶段测试题 71

第3章 向量组的线性相关性 74

3.1 n维向量及其线性运算 74

3.1.1 n维向量的概念 74

3.1.2 n维向量的线性运算及应用 75

3.1.3 n维向量空间及其子空间 77

3.2 向量组的线性相关性 78

3.2.1 向量组及其线性组合 78

3.2.2 向量组线性相关与线性无关的概念 80

3.2.3 向量组线性相关性的判定 82

3.3 向量组的秩 86

3.3.1 向量组的最大无关组与秩 86

3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩 87

3.3.3 向量空间的基与维数 88

3.4 线性方程组解的结构 89

3.4.1 齐次线性方程组解的结构 89

3.4.2 非齐次线性方程组解的结构 93

习题三（A）练习 理解 96

习题三（B）思考 提高 97

第3章 阶段测试题 99

第4章 矩阵的相似对角化 101

4.1 向量的内积 101

4.1.1 向量的内积 101

4.1.2 正交向量组与规范正交基 102

4.1.3 正交矩阵与正交变换 105

4.2 方阵的特征值与特征向量 106

4.2.1 特征值与特征向量的概念 106

4.2.2 特征值与特征向量的性质 111

4.3 矩阵可对角化的条件 112

4.3.1 相似矩阵的概念与性质 112

4.3.2 矩阵可对角化的条件 114

4.3.3 矩阵的特征值与特征向量应用举例 116

4.4 实对称矩阵的对角化 118

4.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 118

4.4.2 实对称矩阵的对角化 119

4.4.3 实对称矩阵相似对角化的应用举例 122

习题四（A）练习 理解 124

习题四（B）思考 提高 125

第4章 阶段测试题 127

第5章 二次型 129

5.1 二次型及其标准形 129

5.1.1 二次型的概念 129

5.1.2 二次型的标准形 131

5.2 化二次型为标准形 133

5.2.1 用正交变换法化二次型为标准形 133

5.2.2 用配方法化二次型成标准形 139

5.2.3 用矩阵的初等变换法化二次型为标准形 141

5.3 正定二次型 143

5.3.1 正定二次型的概念 143

5.3.2 正定二次型的判定 144

习题五（A）练习 理解 148

习题五（B）思考 提高 149

第5章 阶段测试题 149

第6章 Mathematica在线性代数中的应用 152

6.1 矩阵及其运算 152

6.1.1 矩阵的输入与输出 152

6.1.2 特殊矩阵的形成 153

6.1.3 矩阵的运算 154

6.2 矩阵的简化 155

6.3 方程组的求解问题 157

6.3.1 基本语句 157

6.3.2 齐次线性方程组的求解 158

6.3.3 非齐次线性方程组的求解 158

6.4 矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题 159

6.5 专题实验 160

6.5.1 工资问题 160

6.5.2 动物繁殖问题 162

6.5.3 网络流问题 164

6.5.4 生产总值问题 167

6.5.5 化学方程式的配平问题 168

6.5.6 基因问题 169

习题参考答案 171

主要参考文献 183