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第1章 实分析基础 1

1.1 集合与映射 1

1.1.1 集合及其运算 1

1.1.2 映射 3

1.1.3 可数集与不可数集 6

习题1.1 10

1.2 实数与连续函数的一些性质 11

1.2.1 实数的完备性 11

1.2.2 开集与闭集 14

1.2.3 函数的一致连续性与函数列的一致收敛性 19

习题1.2 22

1.3 可测集与可测函数 23

1.3.1 直线上集合的勒贝格测度 23

1.3.2 可测函数及其性质 28

1.3.3 可测函数与连续函数的关系 依测度收敛 31

习题1.3 35

1.4 Lebesgue积分 36

1.4.1 Lebesgue积分的定义 36

1.4.2 Lebesgue积分的性质 40

1.4.3 函数序列积分的收敛定理 42

习题1.4 47

1.5 几个常用不等式 48

第2章 度量空间 52

2.1 度量空间的定义与拓扑性质 52

2.1.1 度量空间的定义 52

2.1.2 度量空间中的点集 56

2.1.3 度量空间中点列的收敛性 59

2.1.4 映射的连续与一致连续性 61

习题2.1 63

2.2 完备性 65

2.2.1 完备性概念 65

2.2.2 常见的完备空间 67

2.2.3 完备性等价命题 度量空间的完备化 69

习题2.2 71

2.3 紧性与列紧性 72

2.3.1 紧性 72

2.3.2 列紧性与全有界性 74

2.3.3 紧集上连续泛函的性质 79

习题2.3 80

2.4 可分性 80

2.4.1 可分性概念 81

2.4.2 常见的可分空间 83

习题2.4 85

第3章 赋范线性空间及其线性算子 86

3.1 赋范线性空间与Banach空间 86

3.1.1 线性空间、线性算子与线性泛函 86

3.1.2 赋范线性空间与Banach空间 90

3.1.3 赋范线性空间的基本性质 91

3.1.4 有限维赋范线性空间的性质与特征 93

习题3.1 97

3.2 有界线性算子 98

3.2.1 有界线性算子及其范数 98

3.2.2 有界线性算子的空间 104

3.2.3 紧算子 106

习题3.2 109

3.3 有界线性泛函 110

3.3.1 有界线性泛函与共轭空间 111

3.3.2 某些具体空间上有界线性泛函的表示 113

习题3.3 116

3.4 泛函分析的几个基本定理简介 117

3.4.1 Hahn-Banach保范延拓定理及其重要推论 117

3.4.2 共鸣定理 119

3.4.3 Banach逆算子定理 120

3.4.4 闭图像定理 121

习题3.4 123

3.5 共轭空间与Banach伴随算子 123

3.5.1 二次共轭空间与自反空间 124

3.5.2 Banach伴随算子及其性质 125

习题3.5 127

3.6 弱收敛与弱＊收敛 127

3.6.1 点列的强收敛与弱收敛 128

3.6.2 泛函序列的强收敛与弱＊收敛 130

习题3.6 131

3.7 有界线性算子谱理论初步 132

3.7.1 谱的概念及基本性质 132

3.7.2 Riesz-Schauder理论简介 137

习题3.7 139

第4章 Hilbert空间及其线性算子 140

4.1 Hilbert空间的几何学 140

4.1.1 定义与基本性质 140

4.1.2 正交分解与投影定理 145

4.1.3 内积空间中的正交系 147

4.1.4 可分Hilbert空间的模型 152

习题4.1 154

4.2 Hilbert空间上的有界线性泛函 155

习题4.2 157

4.3 Hilbert伴随算子和自伴算子 158

4.3.1 Hilbert伴随算子 158

4.3.2 自伴算子 161

习题4.3 163

4.4 Hilbert空间上的几种算子 163

4.4.1 投影算子 164

4.4.2 酉算子 166

4.4.3 正常算子 168

习题4.4 169

4.5 Hilbert空间上自伴算子的谱性质 170

习题4.5 176

第5章 泛函分析的一些应用 177

5.1 Banach压缩映射原理及其应用 177

5.1.1 Banach压缩映射原理 177

5.1.2 应用举例 179

习题5.1 184

5.2 不动点定理及其应用 185

5.2.1 Brouwer与Schauder不动点定理 185

5.2.2 应用举例 186

习题5.2 191

5.3 最佳逼近与投影定理的应用 192

5.3.1 最佳逼近的存在性与唯一性 192

5.3.2 C［a，b］中最佳逼近的唯一性与Chebyshev多项式 194

5.3.3 最佳多项式平方逼近 196

5.3.4 最小二乘解 198

习题5.3 199

5.4 泛函最优化问题与最优控制 200

5.4.1 Frechet微分与Gateaux微分 200

5.4.2 泛函的极值 203

5.4.3 有约束泛函优化的Lagrange乘数法 204

5.4.4 连续时间系统最优控制的极小值原理 208

习题5.4 214

参考文献 216

习题答案与提示 217