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1 预备知识 1

1—1．向量空间 1

1—2．线性变换和特征向量 5

1—3．定向和叉积 8

1—4．直线、平面和球面 11

1—5．向量微积分 15

2 局部曲线理论 18

2—1．基本定义和例子 19

2—2．弧长 27

2—3．曲率和Frenet—Serret标架 34

2—4．Frenet—Serret定理和推论 42

2—5．曲线的存在唯一性基本定理 59

2—6．非单位速率曲线 67

3 平面曲线的整体理论 72

3—1．线积分和Green定理 73

3—2．平面曲线的旋转指标 76

3—3．凸曲线 88

3—4．等周不等式 92

3—5．四顶点定理 96

3—6．预习 106

4 局部曲面理论 108

4—1．基本定义和例子 110

4—2．曲面 129

4—3．第一基本形式和弧长 135

4—4．法曲率、测地曲率和Gauss公式 148

4—5．测地线 159

4—6．沿曲线的平行向量场和平行性 170

4—7．第二基本形式和Weingarten映射 179

4—8．主曲率、Gauss曲率、平均曲率和法曲率 186

4—9．Riemann曲率和Gauss著名定理 205

4—10．等距和曲面论基本定理 212

4—11．常数Gauss曲率曲面 222

5 空间曲线的整体理论 233

5—1．Fenchel定理 233

5—2．Fary—Milnor定理 242

5—3．全挠率 246

6 曲面的整体理论 250

6—1．简单曲率结果 250

6—2．测地坐标片 254

6—3．可定向性和角变分 259

6—4．Gauss—Bonnet公式 267

6—5．Gauss—Bonnet定理和Euler示性数 272

6—6．Jacobi—Hadamard定理 277

6—7．向量场指标 281

7 流形介绍 285

7—1．一些分析上的预备知识 286

7—2．流形——定义和例子 291

7—3．切向量和切空间 298

7—4．向量场和李（Lie）括号 310

7—5．映射的微分和子流形 314

7—6．流形上的线性联络 322

7—7．平行向量场和具有线性联络的流形上的测地线 328

7—8．Riemann度量、距离和曲率 335

附录：历史简记 349

参考文献 355