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第1章 绪论 1

1.1 理论背景 1

1.2 国内外研究综述 4

1.3 结构导引 6

1.4 相关概念 7

第2章 预备知识 12

2.1 概要 12

2.2 复变函数基础知识 12

2.2.1 复数基本概念 12

2.2.2 Cauchy-Riemann方程 14

2.2.3 复积分基本概念 16

2.2.4 幂级数 20

2.2.5 Laurent展开式及留数 21

2.3 Jensen公式 24

2.4 部分分式分解 26

2.4.1 有理函数部分分式分解 26

2.4.2 余切函数的分解及应用 27

第3章 数论中的特殊函数 31

3.1 Plana求和公式及应用 31

3.2 Kubert函数及乘积公式 38

3.2.1 导引 38

3.2.2 相关结果 41

3.2.3 均值定理 43

第4章 超几何函数与椭圆Theta恒等式 45

4.1 Ramanujan三次椭圆函数论 45

4.1.1 一些经典椭圆函数论的基本性质 46

4.1.2 主要结论及证明 47

4.2 Jacobi Theta恒等式及其应用 51

4.2.1 Ramanujan的模恒等式 58

4.2.2 Theta恒等式的推广和应用 59

4.2.3 平方和定理的新证明 63

第5章 Polygamma函数及q-模拟 67

5.1 Polygamma函数完全单调及应用 67

5.1.1 导引 68

5.1.2 改进及证明 73

5.2 Trigamma函数的完全单调性 78

5.2.1 导引 78

5.2.2 主要结论及证明 81

5.2.3 包含Polygamma函数的完全单调性推广 83

5.3 Polygamma的q-模拟及完全单调 86

5.3.1 Gamma的q-模拟及基本性质 86

5.3.2 导引 87

5.3.3 主要引理及证明 88

5.3.4 q-Polygamma的完全单调性 91

第6章 特殊函数的渐近逼近及不等式 94

6.1 Ramanujan Gamma双向逼近 94

6.1.1 导引 94

6.1.2 Ramanujan Gamma双向逼近的推广 97

6.1.3 已有结论的比较 100

6.2 Ramanujan问题与基本超越函数 101

6.2.1 引言 101

6.2.2 基本超越函数余项估计 103

6.2.3 与Becker-Stark的比较 108

6.3 Carlson不等式 110

6.3.1 导引 110

6.3.2 Carlson不等式改进与加强 111

6.3.3 两个推广 114

6.3.4 比较分析 119

第7章 多参量Gini均值 121

7.1 引言 121

7.2 概念和性质 123

7.3 主要结论及证明 124

7.3.1 Gini均值对数凸性的新证明 124

7.3.2 推广及性质 125

参考文献 129

附录 Polygamma完全单调的补充证明 137