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第1章 距离空间 1

1.1 距离空间的基本概念 1

1.1.1 距离空间的定义及例子 1

1.1.2 距离空间中的收敛性 7

1.1.3 距离空间上的映射 9

1.2 距离空间的点集·稠密性与可分性 10

1.2.1 几类特殊的点集 10

1.2.2 稠密性与可分性 13

1.3 距离空间的完备性 15

1.3.1 Cauchy列与完备性 15

1.3.2 闭球套定理与Baire纲定理 20

1.3.3 距离空间的完备化 21

1.4 距离空间的列紧性与紧性 22

1.4.1 列紧集及紧集 22

1.4.2 列紧集与全有界集 23

1.4.3 紧集的性质 28

1.4.4 紧集上的连续映射 29

1.5 Banach不动点定理 30

习题1 36

第2章 赋范线性空间 39

2.1 赋范线性空间 39

2.1.1 线性空间 39

2.1.2 赋范线性空间的定义及基本性质 43

2.1.3 赋范线性空间的例子 45

2.2 Banach空间 47

2.2.1 Banach空间的定义及例子 47

2.2.2 Banach空间的性质 49

2.2.3 积空间与商空间 50

2.3 具有基的Banach空间 52

2.3.1 具有基的Banach空间 52

2.3.2 有限维赋范线性空间 55

习题2 59

第3章 内积空间 62

3.1 内积空间的基本概念与性质 62

3.1.1 内积空间的基本概念 62

3.1.2 内积空间的基本性质 65

3.2 Hilbert空间中的正交分解定理 70

3.2.1 正交 70

3.2.2 变分引理 72

3.2.3 正交分解定理 73

3.3 正交系 74

3.3.1 内积空间中的规范正交系 74

3.3.2 Hilbert空间中的规范正交系 77

3.3.3 Gram-Schmidt正交化 79

3.4 Hilbert空间的同构 80

习题3 83

第4章 Banach空间上的有界线性算子 85

4.1 有界线性算子 85

4.1.1 线性算子与线性泛函的定义 85

4.1.2 线性算子的连续性与有界性 86

4.1.3 有界线性算子空间 89

4.2 开映射定理 94

4.2.1 开映射定理 94

4.2.2 闭图像定理 97

4.3 共鸣定理 99

4.4 Hahn-Banach延拓定理 102

4.5 共轭空间与共轭算子 105

4.5.1 共轭空间 106

4.5.2 共轭算子 109

4.6 弱收敛与弱＊收敛 112

4.6.1 弱收敛 112

4.6.2 弱＊收敛 114

4.7 紧线性算子 115

习题4 118

第5章 Hilbert空间上的有界线性算子 121

5.1 Hilbert空间的自共轭性 121

5.2 Hilbert空间上的共轭算子 122

5.2.1 共轭算子的概念与性质 123

5.2.2 自共轭算子 126

5.2.3 正规算子 128

5.2.4 酉算子 129

5.3 Hilbert空间上的投影算子 132

5.4 正算子及其平方根 136

习题5 139

参考书目 141