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第1章 解析函数初步 1

1．1 复数及复变函数 1

1．1．1 复数 1

1．1．2 复平面上的曲线与区域 6

1．1．3 复变函数 8

1．1．4 复函数的极限与连续性 13

1．2 复变函数的导数 16

1．2．1 导数的概念 16

1．2．2 柯西-黎曼条件 18

1．3 解析函数 21

1．3．1 解析函数的概念 21

1．3．2 初等函数的解析性 24

1．4 共形映射 25

1．4．1 复变函数构成的映射 25

1．4．2 共形映射的概念 26

1．4．3 初等函数构成的映射 29

1．5 分式线性映射 32

1．5．1 分式线性映射 32

1．5．2 惟一确定分式线性映射的条件 33

1．5．3 保圆性 34

1．5．4 保对称性 36

1．6 分式线性映射举例 37

习题一 43

第2章 复变函数的积分 47

2．1 复积分 47

2．1．1 积分的基本概念 47

2．1．2 复变函数积分的性质 48

2．1．3 复积分的计算 49

2．1．4 复变函数的广义积分 51

2．2 柯西-古萨基本定理 52

2．2．1 柯西-古萨基本定理 52

2．2．2 原函数 54

2．3 复合闭路定理 56

2．3．1 积分路径连续变形原理 56

2．3．2 复合闭路定理 58

2．4 基本积分公式 60

2．4．1 柯西积分公式 60

2．4．2 高阶导数公式 61

习题二 64

第3章 复级数 66

3．1 复级数 66

3．1．1 复数列 66

3．1．2 复级数 67

3．1．3 绝对收敛级数 68

3．2 幂级数 69

3．2．1 函数项级数 69

3．2．2 幂级数 69

3．2．3 幂级数的运算与性质 72

3．3 泰勒级数 73

3．3．1 解析函数的泰勒展开式 73

3．3．2 解析函数的零点 77

3．4 洛朗级数 78

3．4．1 洛朗级数 78

3．4．2 复函数的洛朗展开式 79

3．4．3 洛朗展开式的应用 82

习题三 83

第4章 留数理论 86

4．1 孤立奇点 86

4．1．1 孤立奇点的分类 86

4．1．2 可去奇点 87

4．1．3 极点 88

4．1．4 本性奇点 90

4．1．5 函数在无穷远点的性态 91

4．2 留数原理 93

4．2．1 留数概念 93

4．2．2 留数计算 94

4．2．3 留数原理 96

4．2．4 函数在无穷远点的留数 98

4．3 留数在定积分计算中的应用 99

4．3．1 定积分？R（cosθ,sinθ）dθ 99

4．3．2 广义积分？R（x）dx 101

4．4 辐角原理 102

习题四 105

第5章 积分变换 108

5．1 傅里叶级数回顾 108

5．1．1 傅里叶级数 109

5．1．2 周期函数的频谱 112

5．2 傅里叶变换 113

5．2．1 傅里叶积分 113

5．2．2 傅里叶变换 114

5．2．3 非周期函数的频谱 117

5．3 广义傅里叶变换 118

5．3．1 δ-函数 119

5．3．2 δ-函数的性质 121

5．3．3 广义傅里叶变换 121

5．4 傅里叶变换的性质 123

5．4．1 时移性质 123

5．4．2 微分与积分性质 125

5．4．3 时间与频率伸缩性质 127

5．4．4 帕塞瓦尔等式 127

5．4．5 卷积性质 129

5．4．6 傅里叶变换基本性质表 131

5．5 小波变换 133

5．5．1 小波的引入 134

5．5．2 窗函数 135

5．5．3 连续小波变换 136

5．5．4 小波变换的自适应时间—频率窗分析 137

5．5．5 小波变换的性质 139

5．5．6 小波的消失矩与正交性 140

5．6 拉普拉斯变换 141

5．6．1 拉普拉斯变换 142

5．6．2 拉普拉斯变换的收敛域 144

5．7 拉普拉斯变换的性质 148

5．7．1 线性性质 148

5．7．2 时移性质 148

5．7．3 象函数的位移性质 150

5．7．4 微分性质 151

5．7．5 象函数的微分性质 152

5．7．6 积分性质 155

5．8 拉普拉斯变换的进一步讨论 155

5．8．1 拉氏变换的普遍反演公式 155

5．8．2 卷积定理 158

5．8．3 拉氏变换的应用 160

5．8．4 拉氏变换性质表 162

习题五 163

第6章 数学建模及基本原理介绍 168

6．1 数学模型的建立 168

6．1．1 弦振动方程和定解条件 168

6．1．2 热传导方程和定解条件 172

6．1．3 泊松方程和定解条件 176

6．2 定解问题的适定性 177

6．2．1 一些基本概念 177

6．2．2 适定性概念 179

6．3 叠加原理 180

6．3．1 叠加原理 180

6．3．2 叠加原理的应用 183

6．4 齐次化原理 186

6．4．1 由含参变量积分或无穷级数表示的变换 186

6．4．2 常微分方程中的齐次化原理 189

6．4．3 偏微分方程中的齐次化原理 195

习题六 196

第7章 分离变量法 198

7．1 分离变量法 198

7．1．1 两端固定弦的振动（外力f=0） 198

7．1．2 解的物理意义 201

7．1．3 具有外力作用两端固定弦的振动 202

7．2 分离变量法举例 205

7．2．1 弦振动方程定解问题 206

7．2．2 热传导方程定解问题 209

7．2．3 平面上位势方程的边值问题 212

7．3 贝塞尔函数 217

7．3．1 Γ函数 217

7．3．2 贝塞尔函数 218

7．3．3 贝塞尔方程的特征值问题 222

7．4 多个自变量分离变量法举例 228

习题七 236

第8章 积分变换法 239

8．1 热传导方程的柯西问题 239

8．1．1 一维热传导方程的柯西问题 239

8．1．2 二维热传导方程的柯西问题 242

8．2 波动方程的柯西问题 244

8．2．1 一维波动方程柯西问题 244

8．2．2 二维和三维波动方程柯西问题 245

8．2．3 解的物理意义 249

8．3 积分变换法举例 250

习题八 255

第9章 格林函数法 257

9．1 格林公式 257

9．2 拉普拉斯方程基本解和格林函数 260

9．2．1 基本解 260

9．2．2 格林函数 260

9．3 半空间及圆域上的狄利克雷问题 262

9．3．1 半空间的狄利克雷问题 262

9．3．2 圆域上的狄利克雷问题 263

9．4 一维热传导方程和波动方程半无界问题 264

9．4．1 一维热传导方程半无界问题 264

9．4．2 一维波动方程半无界问题 265

习题九 266

第10章 特征线法 269

10．1 一阶偏微分方程的特征线法 269

10．2 一维波动方程的特征线法 273

习题十 276

参考文献 278

附录 部分习题参考答案 279