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第一章　绪论 1

1.1　引言 1

1.2　误差的基本概念 4

1.2.1　误差来源 5

1.2.2　绝对误差、相对误差和有效数字 5

1.2.3　运算误差分析 7

1.3　浮点数系统 8

1.4　计算复杂性和收敛速度 11

1.5　敏度分析与误差分析 12

1.6　常用数学软件介绍 14

习题一 18

上机习题一 20

第二章　函数的多项式插值与逼近 22

2.1　引言 22

2.2　多项式插值问题的提法 23

2.3　Lagrange插值方法 24

2.4　Newton插值方法 30

2.5　分段低次多项式插值 34

2.5.1　等距节点上高次插值多项式的Runge现象 34

2.5.2　分段线性插值 36

2.5.3　Hermite插值 38

2.5.4　分段三次Hermite插值 40

2.5.5　三次样条插值 42

2.5.6　B-样条函数 46

2.6　最佳一致逼近 50

2.7　最小二乘多项式拟合 58

2.8　最佳平方逼近 60

2.9　正交多项式 62

2.10　有理插值与逼近 65

2.10.1　有理插值 65

2.10.2　Padé逼近 67

习题二 72

上机习题二 75

第三章　数值微分与数值积分 76

3.1　引言 76

3.2　数值微分 76

3.2.1　Taylor展开法 76

3.2.2　插值型求导公式 80

3.3　数值积分 82

3.3.1　中点公式、梯形公式与Simpson公式 82

3.3.2　Newton-Cotes求积公式 85

3.3.3　复合求积公式 88

3.3.4　加速收敛技术与Romberg求积方法 91

3.3.5　Gauss求积公式 97

3.3.6　积分方程的数值解 102

习题三 104

上机习题三 106

第四章　非线性方程组数值解法 110

4.1　引言 110

4.2　非线性方程的迭代解法 111

4.2.1　二分法 111

4.2.2　不动点迭代法 115

4.2.3　Newton迭代法 117

4.2.4　割线法 119

4.3　非线性方程组的迭代解法 122

4.3.1　非线性Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代 123

4.3.2　Newton迭代法及其改进算法 124

4.4　大范围算法简介 128

习题四 130

上机习题四 131

第五章　快速Fourier变换 134

5.1　引言 134

5.2　Fourier变换与离散Fourier变换 134

5.2.1　Fourier变换 134

5.2.2　离散Fourier变换 135

5.3　快速Fourier变换 138

5.3.1　基本算法 139

5.3.2　具体实例 140

5.4　快速Fourier变换的应用 142

5.4.1　计算卷积 142

5.4.2　求解系数矩阵为循环矩阵的线性方程组 143

5.4.3　求解微分方程 144

习题五 148

上机习题五 149

第六章　常微分方程数值方法 151

6.1　引言 151

6.2　Euler方法 153

6.2.1　Euler方法及其稳定性 153

6.2.2　局部误差和方法的阶 157

6.2.3　Euler方法的误差分析 158

6.3　Runge-Kutta方法 161

6.3.1　Runge-Kutta方法的基本思想 161

6.3.2　显式Runge-Kutta方法及稳定性 162

6.3.3　隐式Runge-Kutta方法 171

6.4　线性多步法与预估-校正格式 174

6.5　理论分析 178

6.5.1　单步法的收敛性分析 178

6.5.2　稳定性 180

6.5.3　收敛性 182

6.6　方程组及高阶方程数值方法 183

6.7　刚性方程组 184

6.8　分子动力学中的数值方法 189

6.9　Hamilton系统的辛几何算法 191

6.9.1　辛几何与辛代数的基本概念 192

6.9.2　线性Hamilton系统的辛差分格式 196

6.9.3　辛Runge-Kutta方法 199

6.10　边值问题 202

6.10.1　问题提法 202

6.10.2　打靶法 202

习题六 205

上机习题六 207

第七章　Monte Carlo方法 209

7.1　引言 209

7.2　随机数的产生 213

7.2.1　u［0,1］伪随机数的产生 214

7.2.2　一般分布的随机变量的产生 215

7.3　减小方差的技巧 219

7.3.1　重要性抽样法 219

7.3.2　控制变量法 221

7.3.3　分层抽样法 222

7.3.4　对偶变量法 224

7.4　Metropolis算法 225

7.4.1　基本思想 226

7.4.2　物理直观 227

7.4.3　数学表述 229

7.4.4　理论框架 235

7.5　模拟退火算法 236

7.5.1　基本框架 238

7.5.2　理论结果 240

7.6　拟Monte Carlo方法 241

7.6.1　差异 241

7.6.2　变差 242

7.6.3　拟Monte Carlo积分 243

7.6.4　拟Monte Carlo方法的缺陷 244

习题七 245

上机习题七 246

参考文献 250

符号说明 254

名词索引 255