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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数的概念与性质 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种基本性质 5

1.2 初等函数 6

1.2.1 基本初等函数 6

1.2.2 复合函数 9

1.2.3 初等函数概述 10

1.2.4 反函数 11

1.3 数列的极限 12

1.3.1 概念的引入 12

1.3.2 数列极限的定义 13

1.3.3 收敛数列的基本性质 16

1.4 函数的极限 17

1.4.1 函数极限的定义 17

1.4.2 函数极限的性质 25

1.5 极限的运算法则 25

1.5.1 极限的四则运算法则 25

1.5.2 复合函数极限的运算法则 30

1.6 极限存在准则及两个重要极限 31

1.6.1 极限存在准则 31

1.6.2 两个重要极限 32

1.7 无穷小量与无穷大量 38

1.7.1 无穷小量 38

1.7.2 无穷大量 40

1.7.3 无穷小量的比较 41

1.8 函数的连续性 44

1.8.1 连续函数的概念 44

1.8.2 函数的间断点 47

1.8.3 连续函数的性质 49

1.8.4 闭区间上连续函数的性质 50

本章小结 52

习题1 53

自测题1 57

第2章 导数与微分 60

2.1 导数的概念 60

2.1.1 引例 60

2.1.2 导数的定义 62

2.1.3 函数可导与连续的关系 65

2.1.4 导数的几何意义 67

2.2 求导法则与导数公式 67

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 67

2.2.2 反函数的求导法则 69

2.2.3 复合函数的求导法则 70

2.2.4 初等函数的导数公式与求导法则 72

2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 73

2.3.1 隐函数的导数 73

2.3.2 由参数方程所确定的函数的导数 75

2.4 高阶导数 76

2.5 函数的微分 81

2.5.1 微分的定义 81

2.5.2 微分的几何意义 82

2.5.3 微分公式与微分法则 82

2.5.4 微分在近似计算中的应用 84

本章小结 86

习题2 87

自测题2 90

第3章 中值定理与导数的应用 92

3.1 微分中值定理 92

3.1.1 费马引理 92

3.1.2 罗尔定理 94

3.1.3 拉格朗日中值定理 97

3.1.4 柯西定理 99

3.2 洛必达法则 100

3.2.1 0/0型未定式 100

3.2.2 ∞／∞型未定式 101

3.2.3 其他类型的未定式 102

3.3 泰勒定理 104

3.3.1 泰勒公式 105

3.3.2 麦克劳林公式 106

3.4 函数的单调性与极值 108

3.4.1 函数单调性的判别法 108

3.4.2 函数的极值 112

3.4.3 函数的最值 114

3.5 曲线的凹凸性及函数作图 116

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 116

3.5.2 曲线的渐近线 119

3.5.3 函数图形的描绘 121

3.6 曲率 123

3.6.1 弧微分 123

3.6.2 曲率及其计算公式 124

3.6.3 曲率圆与曲率半径 127

本章小结 128

习题3 130

自测题3 133

第4章 不定积分 135

4.1 不定积分的概念与性质 135

4.1.1 原函数与不定积分的概念 135

4.1.2 不定积分的几何意义 137

4.1.3 不定积分的性质 137

4.1.4 基本积分公式 138

4.2 积分法 139

4.2.1 直接积分法 139

4.2.2 换元积分法 140

4.2.3 分部积分法 150

4.2.4 有理函数积分法 153

4.2.5 三角函数有理式的积分法 156

本章小结 157

习题4 158

自测题4 161

第5章 定积分及其应用 164

5.1 定积分的概念 164

5.1.1 定积分的概念产生的背景 164

5.1.2 定积分的定义 166

5.1.3 函数f（x）在闭区间［a,b］上可积的充分条件及必要条件 168

5.1.4 定积分的几何意义 168

5.2 定积分的性质 170

5.3 微积分基本定理 174

5.3.1 积分上限函数及其导数 174

5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 177

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 179

5.4.1 定积分的换元积分法 179

5.4.2 定积分的分部积分法 184

5.5 广义积分 186

5.5.1 无穷限积分 186

5.5.2 无界函数的广义积分 188

5.5.3 Γ函数 190

5.6 定积分的应用 191

5.6.1 定积分在几何上的应用 192

5.6.2 定积分在物理上的应用 202

本章小结 204

习题5 205

自测题5 209

第6章 微分方程 212

6.1 微分方程的基本概念 212

6.1.1 微分方程及微分方程的阶 213

6.1.2 微分方程的解及通解 213

6.1.3 微分方程的特解及初始条件 214

6.2 一阶微分方程的解法 215

6.2.1 可分离变量的微分方程 215

6.2.2 齐次微分方程 217

6.2.3 一阶线性微分方程 221

6.2.4 伯努利方程 224

6.2.5 全微分方程 225

6.3 可降阶的高阶微分方程 226

6.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程 227

6.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 227

6.3.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 228

6.4 二阶线性微分方程 229

6.4.1 线性微分方程解的性质 229

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 231

6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 234

6.5 微分方程的简单应用 238

本章小结 241

习题6 243

自测题6 246

附录A 初等数学常用公式 248

附录B 积分表 250

附录C 常用曲线 258

参考答案 261

参考文献 272