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第七章 无穷级数 1

第一节 常数项级数的概念与性质 1

一、常数项级数的概念 1

二、收敛级数的基本性质 4

第二节 常数项级数的审敛法 6

一、正项级数及其审敛法 7

二、交错级数及其审敛法 13

三、绝对收敛与条件收敛 14

第三节 幂级数 18

一、函数项级数的概念 18

二、幂级数及其敛散性 19

三、幂级数的性质 23

第四节 函数展开成幂级数 25

一、泰勒级数 25

二、函数展开为幂级数 27

第五节 函数的幂级数展开式应用举例 33

一、利用幂级数展开式进行近似计算 33

二、欧拉公式的证明 34

三、利用函数的幂级数展开式求微分方程的解 34

第六节 傅里叶级数 36

一、三角函数系及其正交性 37

二、傅里叶级数 37

三、傅里叶级数的收敛性 39

第七节 正弦级数与余弦级数 45

一、奇函数与偶函数的傅里叶级数 45

二、函数展为正弦级数或余弦级数 47

第八节 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 51

第八章 空间解析几何与向量代数 56

第一节 向量及其线性运算 56

一、向量的概念 56

二、向量的加法 57

三、数与向量的乘法 59

第二节 空间直角坐标系与向量的坐标 60

一、向量的线性关系与向量的分解 60

二、空间直角坐标系 62

三、空间点与向量的坐标 63

四、向量线性运算的坐标表示 65

五、向量在轴上的投影 66

第三节 数量积 向量积 混合积 68

一、两向量的数量积 68

二、两向量的向量积 72

三、向量的混合积 74

第四节 平面及其方程 76

一、平面的点法式方程 76

二、平面的隐式方程 77

三、平面的参数方程 79

四、两平面的夹角 80

五、点到平面的距离 81

第五节 空间直线及其方程 82

一、空间直线的参数方程与对称式方程 82

二、空间直线的隐式方程 84

三、两直线的夹角 直线与平面的夹角 85

四、有轴平面束 87

第六节 曲面及其方程 89

一、曲面方程的概念 89

二、几种常见的曲面 90

三、空间曲面的参数方程 96

第七节 空间曲线及其方程 98

一、空间曲线的隐式方程 98

二、空间曲线的参数方程 99

三、空间曲线在坐标面上的投影 100

第八节 曲线运动与向量值函数及其导数 103

一、曲线的向量方程及向量值函数 103

二、向量值函数的极限与连续 103

三、向量值函数的导数 104

四、向量值函数的微分法则 105

第九章 多元函数微分法及其应用 108

第一节 多元函数的基本概念 108

一、区域 108

二、多元函数的概念 110

三、多元函数的极限 113

四、多元函数的连续性 115

第二节 偏导数 117

一、偏导数的定义与计算 118

二、偏导数的几何解释 120

三、偏导数与连续性的关系 121

四、高阶偏导数 122

第三节 全微分 124

第四节 方向导数与梯度 131

一、方向导数 131

二、梯度 133

第五节 多元复合函数的求导法则 139

一、链式法则 139

二、全微分形式的不变性 144

第六节 隐函数的微分法 146

一、由一个方程确定的隐函数的微分法 146

二、由方程组确定的隐函数的微分法举例 148

第七节 微分法在几何上的应用 151

一、空间曲线的切线与法平面 151

二、曲面的切平面与法线 153

第八节 多元函数的极值及其求法 158

一、多元函数的极值 158

二、最大值与最小值 161

三、约束极值 拉格朗日乘数法 162

四、最小二乘法 166

第十章 重积分 169

第一节 二重积分的概念与性质 169

一、二重积分的概念 169

二、二重积分的性质 172

第二节 二重积分的计算法 173

一、利用直角坐标计算二重积分 174

二、利用极坐标计算二重积分 180

三、二重积分的换元法 184

第三节 三重积分的概念与计算 190

一、三重积分的概念 190

二、直角坐标系下三重积分的计算 191

三、柱面坐标系下三重积分的计算 194

四、球面坐标系下三重积分的计算 196

第四节 重积分的应用 200

一、曲面的面积 201

二、平面薄片与空间物体的质心 203

三、引力 205

第十一章 曲线积分与曲面积分 207

第一节 对弧长的曲线积分 207

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 207

二、对弧长的曲线积分的计算法 209

第二节 对面积的曲面积分 212

一、对面积的曲面积分的概念与性质 212

二、对面积的曲面积分的计算法 213

第三节 对坐标的曲线积分 217

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 217

二、对坐标的曲线积分的计算法 220

三、两类曲线积分之间的关系 224

第四节 格林公式及其应用 226

一、格林公式 226

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 231

三、全微分求积 234

四、全微分求积的应用——一阶全微分方程及其解法 236

第五节 对坐标的曲面积分 240

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 240

二、对坐标的曲面积分的计算法 244

三、两类曲面积分之间的关系 247

第六节 高斯公式 通量与散度 249

一、高斯公式 249

二、通量与散度 252

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 255

一、斯托克斯公式 255

二、环流量与旋度 257

习题答案 260

主要参考书 274