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第1章 基本知识 1

1.1 实数与实数集 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 数集的演进 2

1.1.4 区间和邻域 3

1.1.5 实数的完备性 4

1.2 函数 6

1.2.1 函数的概念 6

1.2.2 函数的表示法 7

1.2.3 函数的一些特性 9

1.2.4 反函数与复合函数 11

1.2.5 初等函数 13

第2章 极限与连续 19

2.1 数列的极限 19

2.1.1 数列 19

2.1.2 数列的极限 20

2.1.3 收敛数列的性质与极限的四则运算 23

2.1.4 数列极限存在的条件 27

2.2 函数的极限 31

2.2.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 31

2.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限 32

2.2.3 函数极限的性质以及运算法则 35

2.2.4 两个重要的极限 38

2.3 无穷小与无穷大 41

2.3.1 无穷小 41

2.3.2 无穷大 43

2.3.3 无穷小的比较 44

2.4 连续函数 47

2.4.1 函数的连续性 47

2.4.2 间断点及其分类 50

2.4.3 连续函数的运算和初等函数的连续性 51

2.4.4 闭区间上连续函数的性质 54

2.4.5 函数的一致连续性 56

第2章总练习题 59

第3章 导数与微分 61

3.1 导数概念 61

3.1.1 导数的定义 61

3.1.2 求导的例 63

3.1.3 导数的意义、平面曲线的切线和法线 65

3.2 求导法则 66

3.2.1 导数的四则运算 66

3.2.2 反函数的导数 68

3.2.3 复合函数的导数 69

3.2.4 基本初等函数的导数公式与求导法则 71

3.3 高阶导数 73

3.4 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 76

3.4.1 隐函数的导数 76

3.4.2 由参数方程确定的函数的导数 78

3.4.3 相关变化率 78

3.5 微分 80

3.5.1 微分的概念 80

3.5.2 微分基本公式与运算法则 82

3.5.3 利用微分进行近似计算 84

第3章总练习题 87

第4章 微分中值定理与导数的应用 89

4.1 微分中值定理 89

4.1.1 费马（Fermat）定理 89

4.1.2 罗尔（Rolle）定理 90

4.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 90

4.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 92

4.2 洛必达（L'Hospital）法则 94

4.2.1 0/0型和∞/∞型不定式极限 94

4.2.2 其他类型的不定式极限 95

4.3 泰勒（Taylor）公式 98

4.3.1 泰勒公式 98

4.3.2 几个初等函数的带皮亚诺余项的麦克劳林（Maclaurin）公式 100

4.4 函数的单调性、极值和最值 103

4.4.1 函数的单调性的判别法 103

4.4.2 函数的极值的判别法 105

4.4.3 函数的最值 107

4.5 函数图形的讨论 109

4.5.1 曲线的凸性与拐点 109

4.5.2 曲线的渐近线 111

4.5.3 函数图形的描绘 113

4.6 曲率 116

第4章总练习题 120

第5章 积分 122

5.1 定积分概念 122

5.1.1 实例 122

5.1.2 定积分的定义 124

5.2 定积分的基本性质 126

5.3 原函数和微积分学基本定理 129

5.3.1 原函数 129

5.3.2 积分上限的函数及其导数 130

5.3.3 牛顿-莱布尼茨公式 132

5.4 不定积分 133

5.4.1 不定积分概念 133

5.4.2 直接积分法 134

5.4.3 不定积分的第一类换元积分法 136

5.4.4 不定积分的第二类换元积分法 141

5.4.5 分部积分法 145

5.4.6 有理函数的积分 149

5.4.7 三角函数有理式的积分 152

5.4.8 简单无理函数的积分 154

5.5 定积分的积分法 157

5.5.1 直接利用牛顿-莱布尼茨公式 157

5.5.2 定积分的换元积分法 158

5.5.3 定积分的分部积分法 161

5.6 定积分的近似计算 163

5.6.1 矩形法 164

5.6.2 梯形法 164

5.6.3 抛物线法 166

5.7 广义积分 168

5.7.1 无限区间上的广义积分 168

5.7.2 无界函数的广义积分 170

第5章总练习题 172

第6章 定积分的应用 175

6.1 微元法 175

6.2 平面图形的面积 175

6.2.1 直角坐标系下的面积公式 175

6.2.2 极坐标系下的面积公式 178

6.3 体积 180

6.3.1 已知平行截面面积的立体的体积 180

6.3.2 旋转体体积 182

6.4 平面曲线的弧长与旋转曲面面积 184

6.4.1 平面曲线的弧长 184

6.4.2 旋转曲面面积 187

6.5 若干物理应用 189

6.5.1 物体的质量 189

6.5.2 引力 189

6.5.3 液体的压力 190

6.5.4 功 191

第6章总练习题 193

第7章 空间解析几何 194

7.1 空间直角坐标系 194

7.2 向量及其线性运算，向量的坐标 197

7.2.1 向量的基本运算 197

7.2.2 向量的坐标向量运算的坐标表示 198

7.3 向量的数量积、向量积 200

7.3.1 向量的数量积 200

7.3.2 向量的向量积 202

7.3.3 向量的混合积 204

7.4 平面的方程 205

7.5 空间直线的方程 209

7.6 曲面与空间曲线 212

7.7 旋转面、柱面 214

7.7.1 旋转面 214

7.7.2 柱面 216

7.8 二次曲面 219

第7章总练习题 223

上册各章习题部分解答 225

附录A 积分表 242

附录B 常用曲线 251