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第1章　命题逻辑 1

1.1　命题和联结词 1

1.1.1　命题 1

1.1.2　联结词 2

1.2　命题公式 7

1.2.1　命题公式的定义 7

1.2.2　真值表 8

1.2.3　重言式、矛盾式与偶然式 10

1.3　逻辑等价与永真蕴含 13

1.4　联结词的完备集 19

1.5　对偶式和范式 22

1.5.1　对偶式 22

1.5.2　范式 23

1.5.3　主析取范式 23

1.5.4　主合取范式 25

1.6　命题逻辑的推理理论 29

第2章　谓词逻辑 34

2.1　谓词和量词 34

2.1.1　谓词 34

2.1.2　量词 35

2.2　谓词公式 37

2.3　谓词演算的永真公式 40

2.3.1　谓词公式的赋值 40

2.3.2　谓词演算的基本永真式 41

2.4　谓词逻辑的推理理论 47

第3章　集合与关系 52

3.1　集合的概念与表示 52

3.2　集合的基本运算 57

3.3　归纳证明 62

3.3.1　集合的归纳定义 62

3.3.2　归纳法 63

3.3.3 自然数集合 64

3.3.4　数学归纳法第一原理 65

3.3.5　数学归纳法第二原理 68

3.4　容斥原理 70

3.5　集合的笛卡儿积 74

3.6　二元关系 76

3.6.1　关系的定义 77

3.6.2　关系的表示 78

3.6.3　关系的运算 79

3.7　集合上的二元关系及其特性 83

3.8　关系的闭包运算 89

3.9　等价关系 95

3.9.1　等价关系和等价类 95

3.9.2　等价关系与集合的划分 97

3.10　序关系 101

3.10.1　偏序集合的概念与表示 101

3.10.2　偏序集合中的特殊元素 103

3.10.3　线序和良序 106

第4章 函数与无限集合 109

4.1 函数 109

4.1.1　函数的定义 109

4.1.2　归纳与递归定义的函数 111

4.2　特殊函数类 114

4.3　鸽巢原理 118

4.4　复合函数和逆函数 120

4.4.1 复合函数 120

4.4.2　逆函数 123

4.5　可数与不可数集合 125

4.5.1　集合的基数 125

4.5.2　可数集 127

4.5.3　不可数集 130

4.6　基数的比较 132

第5章　代数结构 135

5.1　代数系统的组成 135

5.1.1　运算与代数系统 135

5.1.2　运算的性质与代数常元 137

5.2 半群与独异点 145

5.2.1　半群 145

5.2.2　独异点 147

5.3　群 149

5.3.1　群的定义及性质 149

5.3.2　群中元素的阶 151

5.4　子群与群同态 154

5.4.1　子群 155

5.4.2　群的同态与同构 157

5.5　特殊的群 162

5.5.1　交换群 162

5.5.2　置换群 163

5.5.3　循环群 166

5.6　陪集与拉格朗日定理 169

5.6.1 陪集 169

5.6.2　拉格朗日定理 172

5.6.3　正规子群 173

5.6.4　同余关系与商代数 174

5.7　环和域 177

5.7.1　环 177

5.7.2　域 180

第6章　格与布尔代数 183

6.1　格的基本概念 183

6.1.1　格的定义 183

6.1.2　格的性质 185

6.2　子格与格同态 190

6.2.1　子格 190

6.2.2　格同态 191

6.3　特殊的格 194

6.3.1　分配格 194

6.3.2　模格 196

6.3.3　有界格 197

6.3.4　有补格 198

6.4　布尔代数 199

6.4.1　布尔格 199

6.4.2　有限布尔代数的原子表示 202

6.4.3　布尔表达式 205

第7章 图论 209

7.1　图的基本概念 209

7.1.1　图的定义 209

7.1.2　结点的度数 211

7.1.3　特殊的图 212

7.1.4　子图与补图 214

7.1.5　图的同构 215

7.2　图的连通性 218

7.2.1　路和回路 218

7.2.2　无向图的连通性 220

7.2.3　有向图的连通性 222

7.2.4　最短路问题 223

7.3　图的矩阵表示 227

7.3.1　邻接矩阵 228

7.3.2　可达矩阵 232

7.3.3　传递闭包矩阵算法的有效性 234

7.4　欧拉图与汉密尔顿图 238

7.4.1　欧拉图 238

7.4.2　汉密尔顿图 242

7.5　平面图 248

7.6　图的着色 254

7.6.1　图的结点着色 255

7.6.2　平面图的着色 256

7.7　树 259

7.7.1　无向树的定义 259

7.7.2　生成树 261

7.7.3　根树及其应用 265

7.8　运输网络 272

参考文献 282