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第一章　行列式 1

1　行列式的概念 1

一、排列和逆序数 1

二、二阶与三阶行列式 2

三、n阶行列式 3

2　行列式的性质 4

一、排列的对换 4

二、行列式的性质 6

3　克莱姆法则 10

4　行列式的展开定理 12

5 拉普拉斯定理与行列式的乘法 16

一、拉普拉斯定理 16

二、行列式的乘法 17

习题一 18

阅读材料1：连加号“∑”与连乘号“П” 19

第二章　n维向量 21

1　n维向量的定义和运算 21

一、n维向量的定义 21

二、向量的加法 22

三、向量的数量乘法 22

2　向量的线性相关性 23

一、线性相关性 23

二、极大线性无关组和秩 29

3 向量的内积 32

一、内积及其性质 32

二、长度、距离和夹角 33

三、正交向量组 34

习题二 36

阅读材料2：数域和数环 37

第三章　矩阵 39

1　矩阵的基本概念 39

2　矩阵的基本运算 41

一、矩阵的加法 41

二、数与矩阵相乘 41

三、矩阵与矩阵相乘 42

四、矩阵的转置 43

五、关于方阵的两个问题 45

3　逆矩阵 47

一、逆矩阵的定义及性质 47

二、方阵A可逆的充要条件 48

4　矩阵的初等变换与初等矩阵 50

一、矩阵的初等变换 50

二、初等矩阵 54

三、用初等变换求逆阵 56

5　矩阵的秩 57

6　分块矩阵 62

一、分块矩阵的概念 62

二、分块矩阵的运算 62

习题三 67

阅读材料3：分块矩阵的初等变换及其应用 70

第四章　线性方程组 72

1　线性方程组的基本概念 72

一、线性方程组的三种表示形式 72

二、解与解集 73

三、有解判别条件 73

2　齐次线性方程组 74

3　非齐次线性方程组 78

习题四 80

阅读材料4：无解线性方程组的最小二乘解 82

第五章　方阵的特征值和特征向量 85

1　方阵特征值和特征向量的定义与求法 85

一、定义和基本性质 85

二、特征值和特征向量的求法 87

2　方阵的相似关系和对角化问题 90

一、相似关系的定义与性质 90

二、相似对角化及其应用 90

3 对称矩阵的正交对角化 92

一、正交矩阵 92

二、对称矩阵的正交对角化 93

习题五 96

阅读材料5：若当（Jordan）标准形介绍 98

第六章　二次型 101

1　二次型及其矩阵表示 101

2　标准形及其求法 104

一、配方法 104

二、合同变换法（初等变换法） 105

三、正交变换法 109

3　正定二次型和正定矩阵 111

习题六 113

阅读材料6：正定二次型及其他 114

第七章 线性空间与线性变换 116

1　线性空间的基本概念 116

一、线性空间的定义和基本性质 116

二、子空间及其充要条件 118

2　基与坐标 119

一、基与维数 119

二、坐标 120

三、同构 121

3　基变换与坐标变换 122

一、过渡矩阵 122

二、坐标变换公式 123

4　线性变换 125

一、线性变换的定义与例子 125

二、线性变换的基本性质 127

5　线性变换的矩阵 128

一、线性变换矩阵的定义与例子 128

二、同一线性变换关于不同基的矩阵 131

三、线性变换的秩和零度 131

习题七 132

阅读材料7：集合与映射 134

习题参考答案 136

主要参考文献 145