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第1章　一阶微分方程 1

1.1　微分方程与数学模型 1

1.2　通解和特解的积分形式 9

1.3　方向场和解曲线 17

1.4　分离变量方程与应用 29

1.5　一阶线性微分方程 44

1.6　替换方法和恰当方程 56

第1章总复习题 72

第2章　数学模型与数值方法 73

2.1　人口模型 73

2.2　平衡解与稳定性 85

2.3　加速度-速度模型 94

2.4　数值逼近：欧拉方法 105

2.5　再论欧拉方法 117

2.6　龙格-库塔方法 127

第3章　高阶线性微分方程 139

3.1　介绍：二阶线性方程 139

3.2　线性方程的通解 150

3.3　具有常系数的齐次方程 160

3.4　机械振动 169

3.5　非齐次方程和待定系数法 181

3.6　受迫振动和共振 192

3.7　电路 204

3.8　端点问题和特征值 210

第4章　微分方程组简介 221

4.1　一阶方程组及应用 221

4.2　消元法 233

4.3　方程组的数值方法 243

第5章　线性微分方程组 259

5.1　矩阵和线性方程组 259

5.2　齐次方程组的特征值法 276

5.3　二阶方程组及力学应用 291

5.4　多重特征值解 303

5.5　矩阵指数和线性方程组 319

5.6　非齐次线性方程组 331

第6章　非线性方程组及现象 340

6.1　稳定性及相位平面 340

6.2　线性和殆线性方程组 352

6.3　生态模型：捕食者与竞争者 367

6.4　非线性机械系统 382

6.5　动力系统中的混沌 397

第7章　拉普拉斯变换法 410

7.1　拉普拉斯变换和逆变换 410

7.2　初值问题的变换 419

7.3　平移和部分分式 429

7.4　变换的导数、积分和乘积 438

7.5　周期的和分段连续的输入函数 444

7.6　脉冲函数和δ函数 455

第8章　幂级数方法 464

8.1　幂级数的复习和介绍 464

8.2　靠近寻常点的级数解 474

8.3　正则奇点 485

8.4　弗罗贝尼乌斯方法：特别情况 499

8.5　贝塞尔方程 512

8.6　贝塞尔函数的应用 521

第9章　傅里叶级数方法 529

9.1　周期函数和三角级数 529

9.2　一般傅里叶级数及收敛性 536

9.3　傅里叶正弦和余弦级数 544

9.4　傅里叶级数的应用 555

9.5　热传导和变量的分离 560

9.6　振动弦和一维波动方程 573

9.7　稳定状态温度和拉普拉斯方程 585

第10章　特征值和边值问题 595

10.1　施图姆-刘维尔问题和特征函数展开 595

10.2　特征函数级数的应用 607

10.3　稳定周期解和固有频率 618

10.4　柱坐标问题 628

10.5　高维现象 641

附录A　解的存在性和惟一性 658

A1　解的存在性 658

A2　线性方程组 664

A3　局部存在性 665

A4　解的惟一性 666

A5　理想问题和数学模型 668

参考文献 671

1.3　应用：计算机构造的方向场和解曲线 28

1.4　应用：逻辑斯谛方程 43

1.5　应用：室内温度的摆动 54

1.6　应用：计算机代数解 69

2.1　应用：人口数据的逻辑斯谛模型 83

2.3　应用：火箭的推进 103

2.4　应用：欧拉方法的实现 116

2.5　应用：改进的欧拉方法的实现 125

2.6　应用：龙格-库塔方法的实现 136

3.1　应用：描绘二阶方程解族 149

3.2　应用：描绘三阶方程解族 160

3.3　应用：线性方程的近似解 168

3.5　应用：参数的自动变分 191

3.6　应用：受迫振动 202

4.1　应用：引力和开普勒行星运动定律 230

4.2　应用：方程组的计算机代数解 242

4.3　应用：彗星和宇宙飞船 254

5.1　应用：线性方程组的自动解法 276

5.2　应用：特征值和特征向量的自动计算 290

5.3　应用：地震产生的多层建筑的振动 301

5.4　应用：亏损特征值和广义特征向量 317

5.5　应用：自动指数矩阵解 330

5.6　应用：自动参数的自动变分 338

6.1　应用：相位平面图和一阶方程 351

6.2　应用：殆线性方程组和相位平面图 366

6.3　应用：私家野生生物保护区 381

6.4　应用：瑞利和范德波尔方程 394

7.1　应用：计算机代数变换和逆变换 419

7.2　应用：初值问题的变换 428

7.3　应用：阻尼和共振研究 436

7.5　应用：工程函数 454

8.2　应用：级数系数的自动计算 483

8.3　应用：自动生成弗罗贝尼乌斯级数方法 497

8.4　应用：阶简化的特别情况 511

8.6　应用：里卡蒂方程和修正贝塞尔方程 526

9.2　应用：傅里叶系数的计算机代数计算 542

9.3　应用：分段光滑函数的傅里叶级数 553

9.5　应用：热棒研究 571

9.6　应用：振动弦研究 583

10.1　应用：数值特征函数展开 606

10.2　应用：热流动的数值研究 616

10.3　应用：振动梁和跳水踏板 626

10.4　应用：贝塞尔函数和受热圆柱 640