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第一章 赋范空间和有界线性算子 1

1.1 Banach空间和Hilbert空间 1

1.1.1 赋范空间和Banach空间 1

1.1.2 内积空间和Hilbert空间 4

1.1.3 正交集和正交基 7

习题1.1 9

1.2 连续线性算子 12

1.2.1 连续线性算子和它的范数 12

1.2.2 赋范线性空间？（X,Y） 15

1.2.3 逆算子和有界的逆算子 17

习题1.2 20

1.3 共轭算子 22

1.3.1 Banach空间上的共轭算子 22

1.3.2 Riesz定理和Lax-Milgram定理 23

1.3.3 Hilbert空间上的共轭算子 27

1.3.4 共轭算子的例 29

习题1.3 30

1.4 投影算予 32

1.4.1 互补的线性子空间和投影算子 32

1.4.2 连续的投影算予 33

1.4.3 不变予空间和约化子空间 35

习题1.4 37

1.5 正常算子和自共轭算子 38

1.5.1 正常算子和自共轭算子的定义、例 39

1.5.2 自共轭算子的性质 39

1.5.3 正常算子的性质 42

1.5.4 非负的和正的算予 44

1.5.5 自共轭线性算子的平方根 46

习题1.5 49

1.6 紧算子 51

1.6.1 紧的线性算子的定义和例 51

1.6.2 紧线性算子的性质 53

1.6.3 弱列紧 55

1.6.4 紧算子的有穷秩逼近 56

习题1.6 58

第二章 有界线性算子的谱 61

2.1 谱集和正则点集 61

2.1.1 线性算子正则点和谱点的定义 61

2.1.2 线性算子谱的例 63

习题2.1 69

2.2 谱集的基本性质 71

2.2.1 有界线性算子的谱 71

2.2.2 近似点谱 75

2.2.3 有界线性算子的谱半径 76

习题2.2 78

2.3 线性算子的几何分析 81

2.3.1 单位分解和投影算子的加权和 81

2.3.2 投影算子加权和的性质 83

2.3.3 投影算子加权和的谱 84

习题2.3 87

2.4 紧线性算子的谱 88

2.4.1 紧线性算子的特征值 88

2.4.2 紧算子的谱集 90

2.4.3 例 92

习题2.4 93

2.5 紧线性算子的结构 94

2.5.1 紧线性算子的指标 94

2.5.2 紧线性算子的谱分解 97

2.5.3 Riesz-Schauder定理 99

习题2.5 101

2.6 正常算子和自共轭算子的谱 102

2.6.1 正常线性算子的谱 102

2.6.2 有界自共轭算子的谱 103

2.6.3 紧的正常算子的谱分解 106

2.6.4 极大极小原理 108

2.6.5 Cartesian分解 109

习题2.6 110

2.7 有界自共轭算子的谱分解 112

2.7.1 谱族 112

2.7.2 谱积分 115

2.7.3 谱族与线性算子的谱 118

习题2.7 121

2.8 自共轭算子的演算和它的谱分解 123

2.8.1 算子演算和谱积分 123

2.8.2 酉算子 124

习题2.8 126

第三章 无界线性算子 128

3.1 闭的和可闭的线性算子 129

3.1.1 线性算子的图和图模 129

3.1.2 闭线性算子的例 131

3.1.3 可闭的线性算子 132

习题3.1 134

3.2 共轭算子 134

3.2.1 无界线性算子的共轭算子 134

3.2.2 二次共轭算子 136

习题3.2 139

3.3 对称算子和自共轭算子 140

3.3.1 对称算子 140

3.3.2 自共轭的线性算子 141

习题3.3 143

3.4 对称算子的结构和亏指数 145

3.4.1 对称算子的值域和零空间 145

3.4.2 共轭算子定义域的结构 147

3.4.3 对称线性算子的亏指数 148

习题3.4 150

3.5 Cayley变换和对称算子的自共轭扩张 151

3.5.1 Cayley变换 151

3.5.2 对称算子的对称扩张 154

习题3.5 156

第四章 无界线性算子的谱 159

4.1 无界线性算子的谱 159

4.1.1 无界线性算子谱的定义 159

4.1.2 谱分析的例子 160

习题4.1 165

4.2 无界线性算子谱的分布 167

4.2.1 无界线性算子谱集的性质 167

4.2.2 线性算子的数值域 168

4.2.3 线性算子的正则型域 170

4.2.4 无界自共轭算子谱集的性质 172

4.2.5 自共轭算子的谱集非空 174

习题4.2 174

4.3 自共轭算子的谱分解 176

4.3.1 自共轭算子的谱族 176

4.3.2 谱积分 177

4.3.3 自共轭线性算子的谱分解 180

习题4.3 182

4.4 正常算子的谱分解 183

4.4.1 正常算子和它的谱族 183

4.4.2 有界正常算子的谱分解 186

习题4.4 188

4.5 线性算子的本质谱 190

4.5.1 本质谱的定义和性质 190

4.5.2 本质谱在紧摄动下的不变性 193

4.5.3 本质谱核 194

习题4.5 195

第五章 线性常微分算子 197

5.1 一阶微分算子和它的共轭算子 197

5.1.1 有限区间上定义的一阶微分算子 197

5.1.2 无穷区间上定义的一阶微分算子 201

5.2 Sturm-Liouville算子 203

5.2.1 Sturm-Liouville算子和它的预解算子 203

5.2.2 Sturm-Liouville算子的谱 206

5.3 高阶微分算子 208

5.3.1 最大最小算子和亏指数 208

5.3.2 具有紧预解算子的微分算子 211

5.4 极限点型和极限圆型微分算子的自共轭域 212

5.4.1 有限区间上定义的微分算子的自共轭域 212

5.4.2 无穷区间上定义的微分算子的自共轭域 213

5.5 具有中间亏指数奇型微分算子的自共轭扩张 215

5.5.1 亏指数的取值范围 215

5.5.2 最大算子域的分离性刻画 216

5.5.3 微分算子自共轭域的完全刻画 221

5.6 微分算子的辛结构 225

5.6.1 辛空间 225

5.6.2 高阶奇型微分算子自共轭域的辛几何刻画 228

第六章 常微分算子的谱分析 233

6.1 数学物理中的微分算子和Schr？dinger算子 233

6.2 自共轭微分算子的谱 235

6.2.1 A0的共轭算子 235

6.2.2 常系数自共轭微分算子及其相关摄动下的本质谱 236

6.2.3 常系数自共轭Euler微分算子及其相关摄动下的本质谱 251

6.3 自共轭微分算子谱的离散性 259

6.3.1 一般类型微分算子谱的离散性 259

6.3.2 Euler微分算子谱是离散的充分必要条件 265

6.4 J自共轭微分算子的本质谱 267

6.4.1 J自共轭微分算子的定义 267

6.4.2 常系数J对称微分算子及其相关摄动的本质谱 268

6.4.3 常系数J自共轭Euler微分算子及其相关摄动的本质谱 272

6.4.4 具有可积系数的二阶J对称微分算子的本质谱 273

6.5 J自共轭微分算子谱的离散性 277

6.5.1 高阶J自共轭微分算子谱离散的充分条件 277

6.5.2 一项高阶自共轭微分算子谱是离散的充分条件 283

参考文献 287

索引 290