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第1章 复变函数和解析函数 1

知识要点 1

1.1复数的基本概念 1

1.2复变函数及其导数 柯西-黎曼条件 2

1.3解析函数 3

1.4多值函数 3

1.5解析函数的物理解释 复势 4

书后习题解析 5

同步训练题 14

同步训练题答案 15

第2章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式 18

知识要点 18

2.1复变函数积分及其性质 18

2.2柯西定理 19

2.3不定积分 20

2.4柯西公式及其几个推论 20

书后习题解析 20

同步训练题 23

同步训练题答案 23

第3章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类 25

知识要点 25

3.1复变函数和解析函数级数 25

3.2幂级数的收敛性 27

3.3解析函数的泰勒级数展开 28

3.4解析函数的洛朗级数展开 28

3.5泰勒级数与洛朗级数展开的几种常用方法 29

3.6孤立奇点的分类和特性 29

书后习题解析 30

同步训练题 37

同步训练题答案 37

第4章 解析延拓г函数和B函数 39

知识要点 39

4.1解析函数的唯一性 39

4.2用泰勒级数进行解析延拓 39

4.3利用函数关系式进行解析延拓г函数 40

4.4 B函数 40

书后习题解析 40

同步训练题 41

同步训练题答案 41

第5章 定积分的计算 43

知识要点 43

5.1留数定理和留数的求法 43

"5.2 2π∫0 R(cosx,sinx)dx 44

"5.3∞-∞ f(x)dx,∞∫-∞ f(x)e imx dx和若尔当引理 44

5.4积分主值 45

5.5多值函数积分的两种类型 45

5.6几个特殊积分 46

书后习题解析 47

同步训练题 62

同步训练题答案 63

第6章 拉普拉斯变换 65

知识要点 65

6.1拉普拉斯变换的定义 65

6.2反演问题 梅林反演公式 66

6.3求原函数和像函数的几种常用方法 67

6.4线性常微分方程的初值问题 68

6.5 δ函数 68

书后习题解析 69

同步训练题 76

同步训练题答案 77

第7章 傅里叶变换和色散关系 79

知识要点 79

7.1傅里叶级数 79

7.2傅里叶变换 80

书后习题解析 81

同步训练题 84

同步训练题答案 85

第8章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 86

知识要点 86

8.1二阶线性齐次常微分方程在常点邻域的级数解 86

8.2二阶线性齐次常微分方程在正则奇点邻域的级数解 86

8.3二阶线性非齐次微分方程的通解 87

书后习题解析 88

同步训练题 95

同步训练题答案 96

第9章 数学物理方程的定解问题 99

知识要点 99

9.1数学物理方程的导出 99

9.2二阶线性偏微分方程的分类和简化 99

9.3定解问题 100

书后习题解析 101

同步训练题 109

同步训练题答案 110

第10章 行波法和分离变量法 本征值问题 113

知识要点 113

10.1一维无界区域的自由振动问题 达朗贝尔公式 113

10.2一维半无界区域的自由振动问题 初始条件的延拓 113

10.3分离变量法和本征函数法 114

10.4非齐次边界条件的齐次化 115

书后习题解析 116

同步训练题 130

同步训练题答案 131

第11章 积分变换法 139

知识要点 139

11.1无界空间的有源导热问题 傅里叶变换法 139

11.2三维无界空间的静电场问题 140

11.3三维无界空间的受迫振动问题 泊松公式和推迟势公式 141

11.4拉普拉斯变换法 142

书后习题解析 142

同步训练题 152

同步训练题答案 153

第12章 球坐标下的分离变量法勒让德多项式和球谐函数 160

知识要点 160

12.1正交曲线坐标系 平面圆形区域的定解问题 160

12.2球坐标下的分离变量法 162

12.3轴对称问题 勒让德多项式 163

12.4非轴对称问题 球谐函数 164

书后习题解析 166

同步训练题 173

同步训练题答案 174

第13章 柱坐标下的分离变量法 贝塞尔函数 182

知识要点 182

13.1柱坐标下的分离变量法 182

13.2贝塞尔函数 183

13.3虚宗量贝塞尔函数 185

13.4球贝塞尔函数 186

13.5最速下降法 贝塞尔函数的渐近式 187

13.6可以化为贝塞尔方程的一类方程 艾里方程的有限解 188

书后习题解析 188

同步训练题 197

同步训练题答案 198

第14章 非齐次方程的定解问题和格林函数法 210

知识要点 210

14.1三类边界条件的定解问题的解与格林函数 210

14.2格林函数的一般性质 211

14.3某些特殊区域泊松方程狄利克雷问题的格林函数 镜像法 212

14.4格林函数的一般求法 212

14.5无界空间的稳恒振动问题 213

书后习题解析 213

同步训练题 222

同步训练题答案 223

第15章 变分法 232

知识要点 232

15.1泛函的概念 232

15.2变分问题 232

15.3泛函取极值的必要条件 232

15.4带约束条件的变分问题 234

15.5变分问题与微分方程求解 234

书后习题解析 235

同步训练题 239

同步训练题答案 239