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第1章 群的基本知识 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 代数运算 1

1.1.2 运算律 3

习题 6

1.2 群的定义 6

习题 10

1.3 群的基本性质及其他定义 10

习题 15

1.4 群中元素的阶 15

习题 18

1.5 循环群 19

习题 22

1.6 群的同态与同构 22

习题 28

1.7 变换群 28

习题 33

1.8 置换群 33

习题 39

第2章 群的进一步讨论 40

2.1 等价关系与集合分类 40

习题 44

2.2 子群 44

习题 49

2.3 子群的陪集与拉格朗日定理 49

习题 54

2.4 正规子群与商群 54

习题 59

2.5 群的同态与同态基本定理 60

习题 64

2.6 群同态基本定理的一些应用 64

习题 68

第3章 环与域 70

3.1 环的定义 70

习题 74

3.2 整环、除环、域 74

习题 80

3.3 环的特征 80

习题 83

3.4 子环 83

习题 87

3.5 环的同态与同构 87

习题 92

3.6 理想 92

习题 96

3.7 商环与环同态基本定理 97

习题 100

3.8 素理想与极大理想 100

习题 103

3.9 整环的商域 104

习题 107

第4章 唯一分解整环 108

4.1 多项式环 108

习题 111

4.2 唯一分解整环的基本概念 112

习题 116

4.3 唯一分解整环 116

习题 120

4.4 主理想环与欧式环 121

4.4.1 主理想环 121

4.4.2 欧氏环 123

习题 125

4.5 唯一分解整环的多项式扩张 125

习题 130

4.6 因子分解与多项式的根 131

习题 133

第5章 域的扩张 134

5.1 扩域、素域 134

习题 138

5.2 代数扩张 138

习题 143

5.3 多项式的分裂域 144

习题 148

5.4 有限域 149

习题 152

附录一 伽罗瓦与群论的诞生 153

附录二 尺规作图不能问题 158

附录三 对称性群与晶体对称性定律 161

附录四 环与中国剩余定理 165

附录五 有限域与正交的拉丁方 169

附录六 近世代数理论在密码学中的应用 174

附录七 代数系统在编码理论中的应用 181

参考文献 191