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第8章 多元函数微分法及其应用 1

8.1二元函数 1

8.1.1预备知识 1

8.1.2二元函数的概念 3

8.1.3二元函数的极限和连续 5

习题8.1 11

8.2偏导数 12

8.2.1二元函数的增量 12

8.2.2偏导数的概念及其计算 12

8.2.3高阶偏导数 18

习题8.2 20

8.3全微分 21

8.3.1全微分定义 21

8.3.2函数可微分的条件 21

8.3.3全微分在近似计算中的应用 25

习题8.3 26

8.4多元复合函数的求导法则 27

8.4.1多元复合函数的复合关系 27

8.4.2多元复合函数的求导法则 28

8.4.3全微分形式不变性 35

习题8.4 36

8.5隐函数的求导法 37

8.5.1由方程F（x，y）=0所确定的隐函数的导数 37

8.5.2由方程F （x， y， z） =0所确定的隐函数的导数 38

8.5.3由方程组所确定的隐函数的导数 40

习题8.5 42

8.6偏导数的几何应用 43

8.6.1相关概念 43

8.6.2空间曲线的切线方程与法平面方程 44

8.6.3曲面的切平面方程与法线方程 47

习题8.6 50

8.7方向导数与梯度 51

8.7.1方向导数 51

8.7.2梯度 53

习题8.7 54

8.8二元函数的极值 55

8.8.1二元函数的极值 55

8.8.2二元函数的最大值与最小值 58

8.8.3二元函数的条件极值 60

习题8.8 63

数学实验六 64

第9章 重积分 68

9.1二重积分的概念 68

9.1.1二重积分的定义 70

9.1.2二重积分的性质 71

习题9.1 73

9.2二重积分的计算 74

9.2.1直角坐标系下二重积分的计算 74

9.2.2极坐标下二重积分的计算 78

习题9.2 83

9.3三重积分 84

9.3.1三重积分的概念 84

9.3.2直角坐标下三重积分的计算 86

9.3.3柱坐标下三重积分的计算 88

9.3.4球坐标下三重积分的计算 90

习题9.3 93

数学实验七 95

第10章 曲线积分与曲面积分 98

10.1准备知识 98

10.1.1场的概念 98

10.1.2单连通与复连通区域 98

10.1.3平面区域D的边界曲线L的正向 99

10.1.4曲面的侧与有向曲面 99

10.2对弧长的曲线积分 100

10.2.1对弧长的曲线积分的概念 100

10.2.2对弧长的曲线积分的性质 101

10.3对弧长的曲线积分的计算 102

习题10.3 104

10.4对坐标的曲线积分 106

10.4.1对坐标的曲线积分的概念 106

10.4.2对坐标的曲线积分的性质 107

10.4.3对坐标的曲线积分的计算 107

习题10.4 109

10.5格林公式及其应用 111

10.5.1格林公式 111

10.5.2格林公式的简单应用 115

习题10.5 115

10.6平面上曲线积分与路径无关的条件 117

10.6.1曲线积分与路径无关的概念 117

10.6.2曲线积分与路径无关的条件 118

10.6.3全微分求积 120

10.6.4两类曲线积分之间的关系 122

习题10.6 123

10.7对面积的曲面积分 124

10.7.1对面积的曲面积分的概念 124

10.7.2对面积的曲面积分的性质 125

10.7.3对面积的曲面积分的计算 126

习题10.7 131

10.8对坐标的曲面积分 132

10.8.1对坐标的曲面积分的概念 132

10.8.2对坐标的曲面积分的性质 135

10.8.3对坐标的曲面积分的计算 135

习题10.8 138

10.9高斯公式 140

习题10.9 142

10.10斯托克斯公式 144

习题10.10 146

10.11积分学的应用 146

10.11.1积分学的几何应用 146

10.11.2积分学的物理应用 149

习题10.11 156

数学实验八 157

第11章 无穷级数 159

11.1常数项级数的概念和性质 159

11.1.1常数项级数的概念 159

11.1.2级数收敛的必要条件 162

11.1.3收敛级数的基本性质 162

习题11.1 163

11.2常数项级数的审敛法 164

11.2.1正项级数及其审敛法 164

11.2.2任意项级数及其审敛法 170

习题11.2 174

11.3幂级数 175

11.3.1函数项级数 175

11.3.2幂级数及其收敛性 176

11.3.3幂级数的运算性质 180

习题11.3 182

11.4函数展开成幂级数 183

11.4.1泰勒公式 184

11.4.2泰勒级数 185

11.4.3某些初等函数的幂级数展开式 186

习题11.4 190

11.5傅里叶级数 191

11.5.1三角函数系及其正交性 191

11.5.2三角级数与傅里叶级数 191

11.5.3函数展开成傅里叶级数 193

习题11.5 199

数学实验九 200

第12章 常微分方程 205

12.1微分方程的基本概念 205

习题12.1 208

12.2一阶微分方程 209

12.2.1可分离变量的微分方程 209

12.2.2齐次微分方程 212

12.2.3一阶线性微分方程 216

12.2.4伯努利方程 219

12.2.5全微分方程 220

习题12.2 225

12.3可降阶的高阶微分方程 227

12.3.1 y（n）= f （x） 型微分方程 227

12.3.2y″=f（x，y′）型微分方程 227

12.3.3y″= f （y，y′）型微分方程 229

习题12.3 231

12.4二阶线性微分方程解的结构 232

12.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构 232

12.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构 234

习题12.4 236

12.5二阶常系数线性微分方程 236

12.5.1二阶常系数齐次线性微分方程 237

12.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程 240

习题12.5 247

数学实验十 247

习题参考答案 252

附录 273

附录1常用的初等数学公式 273

附录2积分表 276

附录3 Mathematica简介 284

参考文献 296