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1.1基和变换 1

1.1.1向量的线性相关与线性独立 1

第一章 向量与仿射坐标变换 1

1.1.2基和基向量 3

5.3.2黎曼空间的测地线 21 4

2.6.2三维的情况 7 4

1.1.3基向量的正变换和逆变换 4

1.2.1相伴基 6

1.2相伴基及有关的一些问题 6

1.2.2求和约定 9

1.2.3一向量的协变分量与逆变分量 11

1.2.4向量的物理分量 14

1.3.1标量变量的向量函数 16

1.3向量的微分和积分 16

1.3.2向量函数的导数 17

1.3.3向量函数的积分 18

1.4例题 19

习题一 30

第二章 张量概念及其代数运算 33

2.1引言 33

2.2张量的概念 36

2.2.1二阶张量 36

2.2.2二阶张量的例子 37

2.2.3应力张量及应变张量 40

5.4.4引力场和广义相对论 2 41

2.2.4惯性矩张量 48

2.3曲线坐标 51

2.3.1坐标曲面和坐标曲线 54

2.3.2局部基，弧长及度量张量 55

2.4一般曲线坐标系中的张量 58

2.4.1一般张量的定义 58

2.4.2高阶张量的定义 60

2.5.1张量加法 63

2.5张量的代数运算 63

2.5.2张量的乘法 64

2.5.3张量的缩并 66

2.5.4指标的升降 67

2.5.5张量的对称性 69

2.5.6商律——张量判别法则 70

2.6仿射正交张量 71

2.6.1化二阶张量到主轴上 73

2.6.3张量椭球 75

2.6.4张量的不变量 77

2.71张量密度的概念 78

2.7张量密度 78

2.7.2二阶反对称张量与轴向量 80

2.8例题 82

习题二 85

第三章 张量分析 88

3.1.1张量场及其梯度 88

3.1张量场的概念 88

3.1.2向量场的通量和散度 89

3.1.3向量场的环流和旋度 93

3.1.4二阶张量场 94

3.2微分算子△ 95

3.3协变微分 99

3.3.1向量的协变微分 99

3.3.2克利斯托弗尔记号 100

3.3.3张量的协变微分 104

3.3.4Ricci定理 105

3.3.5曲线坐标下微分算子的表达式 105

3.4积分定理 108

3.4.1高斯定理的推论 108

3.4.2斯托克斯定理的推论 109

3.4.3格林公式 110

3.5在流体力学上的应用 113

3.5.1流体运动方程 113

3.5.2动量定理 117

3.6有势场和无旋场、管形场 121

3.6.1有势场和无旋场 121

3.6.2多值势 122

3.6.3管形场 124

3.6.4调和场 126

3.7在电磁论中的应用 131

3.7.1麦克斯韦方程 131

3.7.2标量势与向量势 133

3.7.3电磁场的能量，波印廷向量 135

3.8例题 136

习题三 147

4.1.1空间曲线论的基本公式 149

4.1平面和空间中的曲线 149

第四章 微分几何初步 149

4.1.2曲线族的包络 154

4.1.3平面曲线的渐屈线和渐伸线 156

4.2空间曲面的概念 158

4.2.1空间曲面的参数表示 158

4.2.2曲面的切平面和法线 160

4.2.3直纹面和可展曲面 161

4.3曲面上的曲线弧长和曲面面积 165

4.3.1曲面的第一基本形式 165

4.3.2曲面的面积 167

4.4.1第二基本形式 168

4.4曲面的第二基本形式、曲线的曲率 168

4.4.2主方向与主曲率 171

4.4.3曲率线 174

4.4.4全曲率和平均曲率 176

4.5曲面上的协变微分、测地线 177

4.5.1曲面上的活动标架和曲面论的基本公式 177

4.5.2曲面上切向量的协变微分 179

4.5.3测地线 182

4.6例题 187

习题四 196

第五章 微分流形和黎曼几何初步 198

5.1微分流形的概念 198

5.1.1拓扑空间 198

5.1.2微分流形 199

5.1.3切向量与切空间 203

5.2流形的度量、黎曼空间 206

5.3.1协变微分 209

5.3黎曼空间中的协变微分和曲率 209

5.3.3黎曼空间中的梯度、散度和旋度 216

5.3.4曲率张量 218

5.4狭义相对论的基本概念 226

5.4.1相对性原理和洛仑兹变换 226

5.4.2四维速度向量，牛顿第二定律 235

5.4.3狭义相对论的电磁场方程 238

5.5例题 242

习题五 246

附录 248

参考文献 279