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第一章 从微积分中的概念谈起 1

1.1 集合与映射 1

一、实直线R上有多少个点？ 1

二、用映射的观点来看微积分 12

1.2 极限、连续与拓扑 23

一、数列？-1当n→∞时，一定收敛于0吗？ 23

二、拓扑空间 25

三、拓扑空间中的收敛概念 27

四、连续性的拓扑定义 30

五、一笔画拓扑学 37

六、拓扑空间中的领域 40

1.3 长度、测度与积分 44

一、什么是集合的长度 45

二、测度空间(Χ，S，μ)的构造法 52

三、可测函数 66

四、勒贝格(Lebesgue)积分 72

第二章 度量空间 91

2.1 空间 91

一、什么是“空间” 91

二、度量空间、赋范空间和内积空间 94

三、度量空间中点列的收敛 113

四、距离、范数和内积的连续性 119

2.2 闭性、完备性及紧性 121

一、度量空间中的拓扑 121

二、闭集 127

三、柯西收敛准则与集合的完备性 130

四、聚点原理与集合的列紧性、紧性 138

2.3 线性算子与线性泛函 150

一、线性系统和有界线性算子 151

二、有界线性泛函与共轭空间 165

三、弱收敛与共鸣定理 183

2.4 闭算子、伴随算子与无界算子 197

一、闭算子与闭图象定理 197

二、逆算子与有界逆算子定理 203

三、伴随算子与闭值域定理 204

四、对称算子和自伴算子 219

2.5 矩阵特征值和算子的谱 227

一、复空间上线性算子谱的定义及分类 229

二、有界线性算子谱集和正则集的基本性质 236

三、紧算子的谱特性 265

四、自伴随算子的谱特性 282

第三章 迭代与逼近 288

3.1 压缩映射与方程求解 288

一、迭代法与映射不动点简述 288

二、压缩映射和压缩映射原理 291

三、压缩映射原理的某些扩充和修正 300

四、压缩映射原理在解微分方程中的应用 310

五、计算实例 319

3.2 Fourier级数与Fourier变换 326

一、经典分析中的Fourier级数的收敛问题 327

二、无穷维空间中的正交系与向量的Fouier展开 348

三、Fourier变换 369

名词索引 376

参考文献 381