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第一篇 分析引论 3

第一章 集合、映射与函数 3

1.1 集合与实数 3

一、集合及其表示法 3

二、集合间的关系与运算 5

三、实数及其性质 13

习题1.1 18

1.2 映射与函数 20

一、对应和映射 20

二、函数 22

习题1.2 31

1.3 函数的运算 32

一、函数的四则运算 32

二、函数的复合 33

三、反函数及其求法 39

1.4 初等函数 44

一、基本初等函数 44

二、初等函数 47

三、初等函数与分段函数的一些关系及其应用 48

四、函数的定义域和值域的一般求法 57

习题1.4 63

1.5 函数的几个基本性质 65

一、函数的有界性 65

二、函数的单调性 67

三、函数的奇偶性 71

四、函数的周期性 74

习题1.5 79

第二章 极限的概念，理论和方法 81

2.1 数列极限 81

一、数列极限的概念 81

二、“e一N”方法及其初步应用 92

三、数列极限的基本性质及其应用 107

四、收敛数列的判别准则及其应用 121

习题2.1 147

2.2 函数极限 150

一、函数极限的概念 151

二、“？—δ”方法及其初步应用 164

三、函数极限的性质、判别准则及其应用 172

四、函数极限与数列极限的关系 186

习题2.2 190

2.3 数量级及其应用 194

一、无穷小量 194

二、无穷大量 195

三、数量级及其应用 196

习题2.3 201

第三章 实数的连续性及其应用 203

3.1 确界存在原理及其应用 203

一、确界存在原理 203

二、函数的确界 207

习题3.1 208

3.2 区间套定理及其应用 209

习题3.2 212

3.3 海涅－波雷尔有限覆盖定理及其应用 213

习题3.3 216

3.4 实数连续性命题的等价性 216

习题3.4 217

3.5 上极限和下极限及其应用 218

习题3.5 223

第四章 函数的连续性与致连续性 224

4.1 函数连续的概念 224

一、连续函数的概念 224

二、函数的间断点及其分类 228

三、区间上的连续函数 231

四、函数连续的条件 234

习题4.1 239

4.2 连续函数的性质 240

一、连续函数的基本性质及其应用 240

二、连续函数的著名定理及其应用 252

三、连续函数的一些典型问题及方法 265

习题4.2 276

4.3 一致连续性 278

一、一致连续的概念 278

二、一致连续的条件及运算性质 280

三、一致连续的一些典型问题及方法 289

习题4.3 298

第二篇 一元函数微分学 303

第五章 导数、微分及其计算方法 303

5.1 导数的概念与计算方法 303

一、导数的概念 303

二、函数可导与连续的关系 311

三、导数的计算方法与技巧 314

习题5.1 359

5.2 微分及其计算方法 361

一、微分的概念 361

二、微分的性质及其与导数的区别 364

三、微分的求法及其在近似计算中的应用 367

习题5.2 373

第六章 微分中值定理及其应用 375

6.1 中值定理 375

一、微分中值定理 375

二、中值定理的应用方法与技巧 382

习题6.1 394

6.2 洛比达法则 395

一、洛比达法则 395

二、洛比达法则的应用方法与技巧 398

习题6.2 405

6.3 泰勒公式 406

一、泰勒定理 406

二、泰勒定理的应用方法与技巧 410

习题6.3 418

第七章 导数的应用 419

7.1 函数的单调性 419

一、单调性的充要条件 419

二、严格单调性的充分条件 421

三、单调性判别定理的应用与单调区间的求法 423

习题7.1 428

7.2 函数的极值及其判定方法 428

一、函数的极大与极小 428

二、函数极值的判定和计算 430

习题7.2 439

7.3 函数最大（小）值的计算及其应用 439

一、基本理论 439

二、函数最大值、最小值的一般求法 440

三、最大值和最小值的应用问题举例 442

习题7.3 447

7.4 函数的凹凸性 447

一、函数的凹凸性 448

二、函数凹凸性的等价条件 451

三、拐点 455

习题7.4 457

7.5 不等式的证明方法 458

一、利用导数的定义 458

二、利用函数的单调性 458

三、利用函数的极值和最值 462

四、利用凸函数 465

习题7.5 467

7.6 方程实根的存在性与个数 469

习题7.6 472

7.7 渐近线 472

一、垂直渐近线 473

二、水平渐近线 474

三、倾斜渐近线 474

习题7.7 477

7.8 函数的作图 478

习题7.8 481

7.9 在几何方面的应用 482

一、曲线的切线和法线 482

二、弧的微分 485

三、曲率的定义及其计算 486

四、曲率圆和曲率中心 490

习题7.9 494

第三篇 一元函数积分学 497

第八章 不定积分及其计算方法与技巧 497

8.1 不定积分的基本概念 497

一、原函数与不定积分 497

二、原函数存在定理 503

三、不定积分的几何解释 504

习题8.1 507

8.2 直接积分法 509

习题8.2 514

8.3 换元法与分部积分法 515

一、第一换元法（凑微分法） 515

二、第二换元法 523

三、分部积分法 532

四、基本积分方法小结 542

习题8.3 544

8.4 某些初等函数的积分法 547

一、几类初等函数积分的划分 547

二、有理函数的积分 549

三、三角函数有理式的积分 556

四、简单无理函数的积分 563

习题8.4 576

第九章 定积分的概念、理论与方法 579

9.1 定积分的定义及可积条件 579

一、定积分的定义 579

二、定积分的存在性条件及可积函数类 582

三、基本方法与典型问题 586

习题9.1 588

9.2 定积分的性质 589

一、定积分的基本性质 590

二、定积分的一些典型问题与方法 591

习题9.2 595

9.3 定积分的计算 596

一、微积分学基本定理与定积分的变量替换 596

二、定积分的计算方法与技巧 599

习题9.3 612

9.4 积分中值定理及其应用 614

一、积分中值定理 614

二、积分中值定理的应用方法 616

习题9.4 621

第十章 定积分的应用 623

10.1 微元法 623

一、什么是定积分的微元法 623

二、用微元法求定积分表达式的一般步骤 624

三、微元法求出的是近似值还是精确值 625

10.2 定积分在几何方面的应用 626

一、平面图形的面积 626

二、光滑曲线的弧长 634

三、旋转体的体积 638

四、已知截面面积函数求立体的体积 638

五、旋转体的侧面积 644

10.3 定积分在物理学和力学上的应用 646

一、压力与功 646

二、静力矩与重心 649

三、函数平均值 650

10.4 定积分的其它应用举例 652

10.5 定积分在初等数学中的应用 652

一、推导或证明恒等式 653

二、证明不等式 654

习题10.1 657

附录 常见曲线的方程与图形 660

主要参考文献 664