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预备知识 1

第1章 函数 6

1.1 函数反函数 6

1.1.1 函数 6

1.1.2 函数的表示法 10

1.1.3 反函数 10

1.2 初等函数 10

1.2.1 基本初等函数及其图形 10

1.2.2 复合函数 12

1.2.3 初等函数 13

1.3 函数的简单性态 13

1.3.1 奇偶性 13

1.3.2 周期性 13

1.3.3 单调性 14

1.3.4 有界性 14

1.4 函数建模 14

1.4.1 函数建模 14

1.4.2 数学建模 15

1.5 Mathematica简介 16

1.5.1 Mathematica简介 16

1.5.2 Mathematica的启动 17

1.5.3 退出和重新进入Mathematica 17

1.5.4 Mathematica的输入、输出和运行 18

1.5.5 从Mathematica中获得信息 19

1.5.6 Mathematica的基本功能 19

本章小结 21

第2章 极限与连续 23

2.1 函数的极限 23

2.1.1 当x→∞时，函数的极限 23

2.1.2 当x→x0时，函数的极限 24

2.1.3 数列的极限 26

2.2 无穷小量与无穷大量 27

2.2.1 无穷小量 27

2.1.2 无穷大量 28

2.1.3 无穷小量的比较 28

2.3 极限运算法则 29

2.4 两个重要极限 31

2.4.1 第一个重要极限 31

2.4.2 第二个重要极限 32

2.5 函数的连续性 34

2.5.1 函数在一点的连续性 35

2.5.2 函数的间断点 36

2.5.3 连续函数的运算性质 37

2.5.4 闭区间上连续函数的性质 37

2.6 用Mathematica求函数的极限 38

本章小结 40

第3章 一元函数微分学 42

3.1 导数的概念 42

3.1.1 变速直线运动的瞬时速度 42

3.1.2 导数的定义 43

3.1.3 导数的几何意义 44

3.1.4 导数的物理意义 45

3.1.5 导函数 46

3.1.6 高阶导数 47

3.1.7 左右导数 48

3.1.8 可导与连续的关系 48

3.2 函数的求导法则 49

3.2.1 函数的和差积商的求导法则 49

3.2.2 复合函数的求导法则 50

3.2.3 隐函数的导数 52

3.2.4 初等函数的导数 53

3.3 函数的微分 54

3.3.1 微分的概念及其几何意义 54

3.3.2 微分公式与微分运算法则 55

3.3.3 利用微分法求隐函数的导数 57

3.3.4 利用微分法求由参数方程所确定的函数的导数 58

3.3.5 微分在近似计算中的应用 58

3.4 用Mathematica求函数的导数和微分 59

本章小结 61

第4章 导数的应用 64

4.1 可导函数的极值与最值 64

4.2 函数的单调性 68

4.3 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘 69

4.3.1 曲线的凹凸性与拐点 69

4.3.2 函数图形的描绘 70

4.4 洛必达法则 73

4.5 用Mathematica求解一元函数微分学的应用问题 75

本章小结 78

第5章 一元函数积分学 81

5.1 定积分的概念 81

5.1.1 引入定积分的实例 81

5.1.2 定积分的定义 84

5.1.3 定积分的几何意义 84

5.1.4 定积分的性质 86

5.2 原函数与不定积分 87

5.2.1 原函数 88

5.2.2 不定积分 88

5.2.3 不定积分与导数的关系 89

5.2.4 不定积分的性质 89

5.2.5 基本积分表 89

5.3 不定积分与定积分的关系 91

5.3.1 变上限的定积分 91

5.3.2 牛顿—莱布尼兹公式 92

5.4 换元法积分与分部积分法 94

5.4.1 不定积分换元积分法 94

5.4.2 分部积分法 100

5.5 广义积分 103

5.6 用Mathematica求函数的积分 105

本章小结 106

第6章 定积分的应用 111

6.1 定积分的微元法 111

6.2 定积分的几何应用 112

6.2.1 平面图形的面积 112

6.2.2 旋转体的体积 114

6.3 定积分的物理应用与经济应用举例 116

6.3.1 定积分的物理应用 116

6.3.2 定积分的经济应用 120

6.4 用Mathematica计算平面图形的面积 121

本章小结 123

第7章 常微分方程 125

7.1 微分方程的基本概念 125

7.2 一阶微分方程 128

7.2.1 可分离变量的微分方程 128

7.2.2 可换元求解的微分方程 131

7.2.3 一阶线性微分方程 132

7.3 二阶常系数线性微分方程 136

7.3.1 二阶线性微分方程解的结构 136

7.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 136

7.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 138

7.4 用Mathematica解微分方程 142

本章小结 143

附录 146

附录Ⅰ 数学家简介 146

附录Ⅱ 常用初等数学公式 159

参考文献 162