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第一章 矢量法 1

1.1 矢量代数和微积分 1

1.1.1 矢量的线性运算 1

1.1.2 矢量的乘法 3

1.1.3 矢值函数 5

1.1.4 矢值函数的映射性 8

1.2 矢量法在微分几何上的应用 17

1.2.1 度量系数 17

1.2.2 Frenet公式 20

1.2.3 曲面的两个基本二次型 21

1.2.4 曲面上点的分类 26

1.3 矢量法在场论中的应用 28

1.3.1 场的概念 28

1.3.2 梯度、散度、旋度以及它们之间的关系 30

1.3.3 在一般的正交坐标系中，梯度、散度和旋度的表达式 36

1.4 矢量法在力学上的应用 42

1.4.1 质点运动的速度和加速度 42

1.4.2 Kepler三大定律 44

1.5 n维矢量空间的概念 48

1.6 矢量法与多元函数条件极值的Lagrange乘数法 50

第二章 张量 54

2.1 张量的概念 54

2.1.1 张量的一些实例 54

2.1.2 协变换和逆变换 61

2.1.3 张量的定义 63

2.1.4 协变和逆变法则的张量特征 64

2.2 张量的代数运算及一些特殊张量 72

2.2.1 张量的代数运算 72

2.2.2 对称张量与反对称张量 74

2.2.3 相对张量 74

2.2.4 度量张量 78

2.2.5 伴随张量 79

2.3 C(Christoffel)符号及其变换式 82

2.3.1 C符号 82

2.3.2 C符号的变换 91

2.4 张量的协变微分法 92

2.4.1 协变导数的定义 92

2.4.2 协变导数的运算法则 96

2.4.3 绝对微分 98

2.4.4 R-C(Riemann-Christoffel)张量 101

2.4.5 Ricci张量、Bianchi恒等式、Einstein张量 105

2.4.6 Riemann空间与Euclid空间 106

2.5 e-系统和广义的δ 108

2.5.1 e-系统和广义δ的定义 108

2.5.2 e-系统对行列式的应用以及广义δ的张量特征 110

2.6.1 曲面上一曲线弧的微分及二曲线的夹角 114

2.6 张量在几何学上的应用 114

2.6.2 互逆基底 115

2.6.3 关于协变导数的几何意义 117

2.6.4 空间曲线几何 118

2.6.5 曲面的几何 122

2.6.6 测地线 126

2.6.7 R.C张量和Gauss曲率 129

2.7 场论中三个度的张量表达式 130

2.8 张量在力学中的应用 134

2.8.1 质点运动方程、功和能量 134

2.8.2 广义坐标的Lagrange方程 142

2.8.3 变形分析 146

2.8.4 应力状态分析 154

2.9 张量在电动力学中的应用 158

2.9.1 电磁现象里的相对性原理 158

2.9.2 电磁场张量 160