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第一章 预篇 1

1.1 误差知识 1

1.1.1 误差的来源 1

1.1.2 误差概念 2

1.2 数值运算中应注意的问题 5

习题 9

第二章 线性代数方程组的解法 11

2.1 直接方法 11

2.1.1 Gauss消元法与主元素消去法 11

2.1.2 利用矩阵的三角分解求解 16

2.1.3 行列式的计算和矩阵求逆 22

2.2 范数与误差分析 25

2.2.1 向量范数 25

2.2.2 矩阵范数 26

2.2.3 条件数与误差估计 28

2.3 迭代法 32

2.3.1 迭代法的一般形式 32

2.3.2 简单迭代法和Gauss—Seidel迭代法 34

习题 37

3.1.1 幂法 40

3.1 幂法和反幂法 40

第三章 代数特征值问题 40

3.1.2 反幂法 43

3.2 Householder矩阵及其一些应用 45

3.3 求实对称矩阵的特征值的对分法 50

3.3.1 实对称三对角矩阵的特征值计算 50

3.3.2 实对称矩阵的特征值计算 54

3.4 QR方法 54

3.4.1 基本QR方法 54

3.4.2 带原点平移的QR方法 55

习题 58

第四章 方程求根 60

4.1 对分法 60

4.2 不动点迭代法 61

4.2.1 不动点问题 61

4.2.2 不动点迭代的收敛条件 62

4.2.3 不动点迭代的收敛速度 64

4.3 Newton法 66

4.4 割线法 69

4.4.1 割线法迭代公式 69

4.4.2 割线法的收敛条件 69

4.5 抛物线法 71

4.6 解非线性方程组的Newton法 73

习题 75

第五章 代数插值与曲线拟合 77

5.1 Lagrange插值公式 77

5.1.1 Lagrange插值多项式 77

5.1.2 插值公式的余项 79

5.1.3 分段低次插值 81

5.2 Newton插值公式 82

5.2.1 差商与Newton插值多项式 82

5.2.2 差分与等距结点的Newton插值多项式 85

5.2.3 Newton插值公式的余项 87

5.3 Hermite插值公式 87

5.3.1 Hermite插值多项式 87

5.3.2 Hermite插值公式的余项 89

5.3.3 带导数值插值条件的插值多项式举例 90

5.4 三次样条插值 92

5.4.1 三次样条插值问题 92

5.4.2 三弯矩法导出的三次样条 93

5.4.3 三斜率法导出的三次样条 96

5.5.1 最小二乘法 99

5.5 最小二乘法与多项式拟合 99

5.5.2 多项式拟合 101

习题 105

第六章 数值微分与数值积分 108

6.1 数值微分 108

6.1.1 利用插值多项式计算导数 108

6.1.2 利用三次样条插值函数计算导数 109

6.2 数值积分 110

6.2.1 数值求积公式的一般形式 110

6.2.2 Newton—Cotes求积公式 112

6.2.3 复化求积法 116

6.2.4 变步长的梯形法则 118

6.2.5 Romberg积分法 119

习题 123

第七章 常微分方程初值问题的数值解法 125

7.1 Euler法，向后Euler法，梯形法 125

7.2 Runge—Kutta方法 129

7.3 线性多步法 132

7.4 预测—校正法 139

7.5 一阶微分方程组的数值解法 141

习题 144