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第一章 数学物理方程的导出 1

1 引言 1

2 迁移方程导出数学物理方程 3

2.1 一般迁移方程 3

2.2 流体力学方程且 5

2.3 热传导方程 8

习题 12

3 Hamilton原理与数学物理方程 13

3.1 Hamilton原理与极小势能 13

3.2 变分问题的Euler方程 14

3.3 弦振动与膜振动方程 17

3.4 位势方程与极小曲面方程 21

习题 22

第二章 一些经典解法 23

1 无界弦的振动 23

1.1 D Alembert公式 23

1.2 半无界弦的振动 25

习题 28

2 分离变量方法 29

2.1 两端固定弦的振动 29

2.2 常微分方程的本征值问题 32

习题 36

3 分离变量法的实例 37

3.1 热传导方程第二边值条伯的初边值问题 37

3.2 圆域上的Laplace方程的Dirichlet问题 39

习题 41

4.1 一阶线性偏微方程 42

4 特征方法 42

4.2 一阶拟性偏微分方程 45

习题 47

5 特征方法在非线性问题中应用举例 48

5.1 人口分布问题 48

5.2 交流流问题 51

习题 55

第三章 偏微方程 57

1 一般概念与适定性 57

2 Caychy-Kowalewski定理 60

3 Hadamard的反例与Lewy的反例 65

3.1 Hadamard的反例 65

3.2 Lewy的反例 66

4 方程的分类 68

习题 71

5 两个自变量二阶方程的简化 72

习题 77

6 叠加原理与齐次化原理 77

6.1 叠加原理 77

6.2 Duhamel原理 79

习题 81

第四章 椭圆型方程 82

1 广义函数的概念 82

1.1 集中分布 82

1.2 广义函数的定义 84

1.3 广义函数的导数 86

1.4 广义函数的支集 88

习题 89

2.1 基本解 90

2 基本解与Green函数 90

2.2 Green函数 93

习题 96

3 应用Geen函数求定解问题例 97

习题 103

4 极值原理 104

习题 107

5 第二边值问题解的唯一性 108

习题 110

6 调和函数的性质 111

习题 114

第五章 抛物型方程 115

1 广义函数的Fourier变换 115

习题 121

2.1 热传导方程的基本解 122

2 Cauchy问题 122

2.2 Cauchy问题 124

习题 125

3 初边值问题的极值原理 127

习题 130

4 Cauchy问题的先验估计 131

习题 133

5 热传导方程初边值问题 134

习题 137

第六章 双典型方程 138

1 基本解及Cauchy问题 138

1.1 波动方程的基本解 138

1.2 Cauchy问题的解 142

习题 145

2 广义解 146

2.1 降维法 146

2.2 Huygens现象 147

习题 149

3 能量积分及唯一性与稳定性 150

3.1 初边值问题的能量积分 150

3.2 Cauchy问题的能量不等式 153

习题 156

4 特征概念 158

习题 161

第七章 变分方法及广义解 163

1 Hilbert空间及Sobolev空间 163

1.1 Hilbert空间 163

1.2 Riesz表示定理 166

习题 168

2 广义解 169

习题 174

3 广义解的适定性 175

习题 179

4 近似解法 180

4.1 Ritz方法 180

4.2 Galerkin方法 182

4.3 进一步的应用 184

习题 186

5 有限元方法介绍 187

习题 192

附录 Sturm-Liouville问题 193