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第一篇 变分法 1

绪论 1

第一章 最简单泛函的极值 6

1. 绝对极值与相对极值 6

2. 最简单泛函的变分 极值必要条件 11

3. 欧拉方程 16

4. 欧拉方程的积分法 18

5. 最简单泛函的二次变分 勒让德条件 26

6. 在一点处的变分 欧拉方程的不变性 31

习题一 35

第二章 最简单问题的推广 37

1. 空间曲线泛函的极值问题 37

2. 欧拉方程组 38

3. 空间曲线泛函的二次变分及勒让德条件 41

4. 依赖于高阶导函数的泛函的变分问题 43

5. 依赖于多元函数的变分问题 48

6. 依赖于多元函数的高阶导数的泛函的变分问题 53

7. 空间曲线泛函在一点处的变分 54

8. 哈密顿原理及其应用 56

习题二 61

第三章 泛函极值的充分条件 63

1. 极值曲线场 63

2. 共轭点 雅可比条件 65

3. Hilbert 不变积分与E函数 强极值的充分条件 70

4. 弱极值的充分条件 74

习题三 77

第四章 可动边界的变分问题 79

1. 可动边界的最简问题 79

2. 空间曲线泛函的可变端点问题 84

3. 依赖于高阶导数泛函的可变端点的变分问题 88

4. 有尖点的极值曲线 91

5. 单向变分 95

6. 简单的混合型泛函的极值问题 100

习题四 102

第五章 条件极值的变分问题 104

1. 等周问题 104

2. 可变端点的等周问题 110

3. 条件极值 112

习题五 123

第六章 参变数形式的变分问题 125

1. 曲线的参数形式 齐次条件 125

2. 可变端点的变分问题 127

3. 参数形式的等周问题 129

第七章 变分问题中的直接方法 131

1. 欧拉有限差分法 131

2. 里兹法 132

3. 康脱洛维奇法 134

习题六 136

第八章 数学物理方程中的变分方法 138

1. 算子方程的变分原理 138

2. 几类重要类型的数学物理方程的变分原理 142

3. 里兹方法 148

4. 里兹法在计算微分方程特征值方面的应用 152

5. 伽辽金法及其应用 155

习题七 159

第二篇 最优控制 163

绪论 163

1. 变分法用于最优控制问题 170

第一章 庞特里雅金最大值原理 170

2. 自由端点问题的最大值原理 179

3. t1可动时的自由端点问题 190

4. 终端状态带有约束的最大值原理 194

习题一 208

第二章 最大值原理用于线性控制系统 212

1. 线性时间最优控制 212

2. 有限时间LQP问题 220

3. t1=∞时定常系统的LQP问题 229

4. 跟踪问题的调节器设计 240

附录Ⅰ 线性定常系统的可控性可观性及其判别 246

附录Ⅱ 线性定常系统的(全局)渐近稳定性简述 250

附录Ⅲ 正定与半正定(非负定)矩阵 254

习题二 255

第三章 动态规划(DP)法用于求解最优控制 258

1. DP法用于离散系统最优控制 258

2. DP法用于连续系统最优控制 268

3. DP法的HJB方程用于LQP问题 278

4. 由HJB方程推导最大值原理 280

习题三 282