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第一章 实数 1

第一部分 Q的拓扑研究 2

1 收敛到有理数的有理数序列 2

2 Q的区间 7

3 收敛的有理数重序列 8

4 柯西序列 9

5 关于柯西序列上的运算和柯西序列的性质 12

第二部分 实数域R的结构，R的拓扑 14

1 域R 14

2 实数区间，收敛序列、柯西序列 20

3 R的两个基本性质 24

第二章 数直线 26

1 关于点集的定义：上界，下界，接触点，聚点 26

2 基本定理：波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，单调序列的定理，波雷尔-勒贝格定理 32

3 上确界、下确界 36

4 关于极限的定理 39

第三章 度量空间Rn 43

1 距离的一般概念 43

2 R上矢量空间的范数 46

3 Rn上的范数 48

4 极限，Rn中的球，拓扑性质 53

5 复数域C与空间R2 61

第四章 从R到R内的映射：单实变量的实函数 66

第一部分 数值函数通论 66

1 定义和初等性质 66

2 序列的上极限、下极限 71

3 在一点的极限 74

第二部分 连续的单实变量的实函数 80

1 连续性的定义，连续函数的初等性质 80

2 在区间上连续的函数的两个基本定理 85

3 一致连续性 88

4 连续延拓 90

第三部分 单调函数，单调连续函数 92

1 单调函数 92

2 单调的连续函数，完备直线 96

第四部分 阶台函数 105

1 ［a,b］上阶台函数的定义和性质 105

2 关于［a,b］上阶台函数的运算 108

第五部分 一致收敛 109

1 数值函数序列一致收敛性的定义 111

2 阶台函数序列的一致收敛性，阶梯函数 114

3 阶梯函数的巴拿赫空间(一致收敛的范数) 120

第六部分 可导函数 123

1 定义 124

2 一般性质 128

3 罗尔定理，有限增量分式，原函数 133

4 凸函数 141

5 泰勒公式 145

第七部分 指数函数 149

1 函数x→xn(n为正整数)的研究 149

2 ar(r∈Q)的定义和性质 150

3 函数r→ar(r∈Q，a>0) 154

4 函数x→ax(x∈R，a>0) 155

5 函数logcx与xa 157

6 指数函数的导数,数e 160

第五章 单实变量的矢量函数：从R到Rp内的映射 167

1 定义和一般的注 167

2 连续的矢量函数. 阶梯函数 169

3 可导的矢量函数 173

4 泰勒公式 176

5 单实变量的复函数 176

第六章 多实变量的实函数：从Rn到R内的映射.关于从Rp到Rq内映射的概念 179

1 从RP到R内映射的连续性 179

2 一致收敛.用阶台函数逼近连续函数 184

3 偏导数 186

4 可微函数的定义 190

5 关于可微函数的运算 192

6 微分 199

7 泰勒公式 205

8 从Rp到Rq内的映射 208

符号目录 210

法汉名词对照 211