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第十三章 瑕积分 483

1 积分限为无穷的瑕积分 483

435. 积分限为无穷的瑕积分的定义 483

436. 积分学基本公式的用法 485

437. 例题 486

438. 积分存在的条件 489

439. 与无穷级数联系 491

440. 瑕积分的(基于互相比较的)收敛判断法 494

441. 更细致的判断法 497

442. 例题 499

443. 无界函数的积分的定义 505

2. 无界函数的瑕积分 505

444. 关于瑕点的补充 508

445. 积分学基本公式的用法·例题 509

446. 积分存在的条件和判断法 511

447. 例题 514

448. 瑕积分的主值 520

3. 瑕积分的性质与变形 524

449. 最简单的一些性质 524

450. 中值定理 527

451. 瑕积分的分部积分法 529

452. 例题 529

453. 瑕积分里的变数替换 532

454. 例题 533

4. 瑕积分的特别计算法 537

455. 几个有名的积分 537

456. 用积分和计算瑕积分·积分限都为有穷的情形 541

457. 积分带无穷限的情形 543

458. 伏汝兰尼积分 547

459. 有理函数在正负无穷之间的积分 550

460. 杂例和习题 555

5. 瑕积分的近似计算 565

461. 有穷区间上的积分·瑕点分出法 565

462. 例题 566

463. 关于通常积分的近似计算的附注 570

464. 带有无穷限的瑕积分的近似计算 571

第十四章 依赖于参数的积分 574

1. 基本理论 574

465. 问题叙述 574

466. 一致趋向于极限函数 574

467. 两个极限过程的互换 578

468. 在积分号下的极限过程 580

469. 在积分号下的微分法 582

470. 在积分号下的积分法 585

471. 当积分限依赖于参数时的情形 587

472. 仅依赖于χ的因子的引入 589

473. 例题 592

474. 代数学中基本定理的高斯证明 602

2. 积分的一致收敛性 604

475. 积分的一致收敛性的定义 604

476. 一致收敛的条件·与级数的连系 606

477. 一致收敛的充分判别法 607

478. 一致收敛性的其它情形 610

479. 例题 612

3. 积分一致收敛性的应用 617

480. 在积分号下的极限过程 617

481. 例题 620

482. 含参数的积分的连续性与可微性 633

483. 含参数的积分的积分法 636

484. 对于一些积分计算的应用 639

485. 在积分号下取微商的例题 646

486. 在积分号下求积分的例题 656

4. 补充 666

487. 阿尔采拉引理 666

488. 积分号下取极限 668

489. 积分号下取微商 671

490. 积分号下取积分 672

5. 欧拉积分 674

491. 第一型欧拉积分 674

492. 第二型欧拉积分 677

493. Γ函数的一些最简单的性质 680

494. 由Γ函数的特性而得到的同义定义 684

495. 例题 686

496. Γ函数的对数微商 693

497. Γ函数之叠乘定理 696

498. 几个级数展式与乘积分展示 697

499. 例与补充 699

500. 若干定积分之计算 704

501. 司特林公式 712

502. 渐近级数 716

503. 渐近级数之运算 719

504. 欧拉常数之计算 722

505. Γ函数的以10为底的对数表和编制 723

506. 在分析中所遇到的极限的各种类型 725

附录 极限的一般观点 725

507. 有序集合(狭义的) 726

508. 有序集合(广义的) 727

509. 有序变量及其极限 730

510. 命题 732

511. 关于函数极限的附注 734

512. 极限理论的推广 735

513. 同序变量 738

514. 借助于参数的排列法 740

515. 化简成贯数 741

516. 有序变量的上极限与下极限 744