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第一章 极限 实数 函数 1

1 有理数列的极限 1

习题1.1 4

2 有理数的小数表示 4

习题1.2 8

3 实数的定义 9

习题1.3 15

4 实数列与实数集的一些性质 16

习题1.4 20

5 n编Euclid空间R 21

5.1 Euclid空间 21

5.2 紧致性的概念 25

5.3 集所含的元素数目R 的基数 29

5.4 R 中的开集的结构 31

习题1.5 33

6 n元函数 34

6.1 一元函数 34

6.2 多元函数 40

6.3 连续函数空间C(E) 45

习题1.6 46

第二章 微分学 49

1 导数 49

1.1 方向导数、导数 49

1.2 一元情形 51

1.2.1 重要的例子 52

1.2.2 一元函数导数的几何意义和物理应用 53

1.2.3 一元函数的求导法则 54

1.2.4 一元函数的微分中值定理 57

1.2.5 通过导数求极限的L’Hospital法则 58

1.3 可导的充分条件及求导算律 61

1.4 高阶偏导数 64

1.5 导数的几何意义、切线和切平面 65

习题2.1 67

2 Taylor公式和Taylor展开式 69

2.1 Taylor公式 69

2.2 一元初等函数的Taylor展开 73

2.3 函数的局部极值性质 76

习题2.2 77

3 可微变换 78

3.1 基本概念 78

习题2.3.1 81

3.2 可微变换的复合 82

习题2.3.2 85

3.3 逆变换 85

习题2.3.3 90

4.1 特殊情形 91

4 隐变换 91

4.2 一般情形 94

习题2.4 95

5 条件极值 96

习题2.5 100

6 几何应用 100

6.1 曲线 100

6.2 曲面 103

习题2.6 105

7 原函数 106

习题2.7 111

第三章 积分学 113

1 测度 113

1.1 外测度 113

1.2 测度 116

1.3 Borel集是可测集 118

1.4 通过开集刻画可测集 119

习题3.1 121

2.1 基本概念 123

2 可测函数 123

2.2 可测函数的结构 126

习题3.2 132

3 积分的定义及基本性质 133

习题3.3 142

4 几乎连续函数及其积分 144

习题3.4 151

5 微积分基本定理 153

5.1 微积分基本定理 153

5.2 换元法 155

5.3 分部法 156

习题3.5 160

6 积分号下取极限 162

6.1关于积分号下取限的定理 162

6.2 积分号下取极限的定理的应用 166

6.2.1 参变积分的一般性质 167

6.2.2 具体的例 169

6.3 广义参变积分的积分号下取极限 171

6.3.1 定理及其应用 171

6.3.2 几个判断广义参变积分一致收敛的充分条件 177

习题3.6 181

7 把多重积分化为累次积分 183

习题3.7 189

8 一类重要的参变积分--Euler积分 192

习题3.8 196

9 积分的变量替换 197

9.1 R”上的正则变换是可测变换 197

习题3.9.1 200

9.2 线性变换下的积分计算公式 200

习题3.9.2 202

9.3 正则变换下的积分计算公式 203

习题3.9.3 207

9.4 变量替换的实例 207

习题3.9.4 210

10 函数空间L(Rn) 211

习题3.10 214

第四章 级数 216

1 收敛判别法 216

2 一致收敛 223

习题4.1 223

习题4.2 229

3 求和号下取极限 231

习题4.3 235

4 幂级数与Taylor展开 236

4.1 一般性讨论 236

习题4.4.1 240

4.2 函数的Taylor展开 241

习题4.4.2 246

5.1 三角级数 248

5 三角级数与Fourier展开 248

5.2 Fourier级数 249

5.3 Fourier部分和 250

5.4 局部化原理 251

5.5 一致收敛问题 254

5.6 Fejér和 254

习题4.5 257

6 用代数多项式一致逼近连续函数 258

习题4.6 264

第五章 曲线和曲面上的积分 265

1 曲线积分 265

1.1 曲线的长度及曲线的自然表示 265

习题5.1.1 270

1.2 曲线上的测度及第一型曲线积分 271

习题5.1.2 275

1.3 第二型曲线积分 275

习题5.1.3 279

2.1 曲面上的测度 280

2 曲面积分 280

习题5.2.1 285

2.2 第一型曲面积分 285

习题5.2.2 289

2.3 第二型曲面积分 289

习题5.2.3 293

3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 293

3.1 R2中的Green公式 293

3.2 Gauss公式 295

习题5.3.1--5.3.2 296

3.3 R3中的Stokes公式 297

习题5.3.3 300

4 场的概念 301

4.1 梯度 301

4.2 散度 301

4.3 旋度 302

习题5.4 303

人名索引 304

符号及名词索引 307